集合
一、集合的概念
我们通常用大写字母 \(A,B,C,\dots\) 来表示集合，用小写字母 \(a, b, c, \dots\) 表示集合中的元素。
如果 \(a\) 是 \(A\) 中的元素，我们记作 \(a \in A\)，读作 \(a\) 属于 \(A\)。
如果 \(a\) 不是 \(A\) 中的元素，我们记作 \(a \notin A\)，读作 \(a\) 不属于 \(A\)。
举个例子：若 \(A = \{1, 2, 3, 4\}\)，我们称 \(1 \in A\)，\(5 \notin A\)。
二、集合的特征
集合中的元素具有确定性、无序性、互异性。
- 确定性：一个对象是否属于集合，必须有明确的判断标准。
- 无序性：元素的排列顺序不影响集合本身。
- 互异性：集合中的元素互不重复。
因此
三、数集集合表示
| 数集 | 符号 |
|---|---|
| 自然数集 | \(\mathbb{N}\) |
| 正整数集 | \(\mathbb{N_+}\) 或 \(\mathbb{N^\ast}\) |
| 整数集 | \(\mathbb{Z}\) |
| 有理数集 | \(\mathbb{Q}\) |
| 实数集 | \(\mathbb{R}\) |
| 复数集 | \(\mathbb{C}\) |
四、集合的表示方法
1. 列举法
把元素逐一写在花括号中，例如 \(1 \le x \le 5\) 的自然数集合可以表示成
列举法还可以按规律列出的集合，比如所有的正整数可以表示成
在不引起歧义的情况下可以这么写。
2. 描述法
描述法的基本结构是
为了方便理解，也可以看作
竖线 \(\mid\) 可以看作连接词，竖线前面给出大范围，后面给出更精确的限制。
在不引起歧义的情况下，可以不写出 \(x\) 的范围。
- \(\{x \mid x = 2k, k \in \mathbb{Z}\}\) 表示偶数集合。
- \(\{x \in \mathbb{R} \mid 1 < x < 2\}\) 表示 \(1\) 到 \(2\) 的实数。
3. 区间法
以下均设 \(a < b\)。
- \([a, b]\) 表示闭区间，包含左右两个端点。
- \((a, b)\) 表示开区间，不包含左右两个端点。
- \([a, b)\) 和 \((a, b]\) 表示半开半闭区间，只包含一个端点，看哪个是方括号。
特别的，表示 \(a < b\) 中的 \(b\) 我们可以表示成 \((a, +\infty)\)。
同理，\(a < b\) 中的 \(a\) 也可以表示成 \((-\infty, b)\)。
注意，无穷的那边一定要是圆括号。
五、集合之间的关系
1. 子集
如果集合 \(A\) 的任意一个元素都是集合 \(B\) 的元素，那么集合 \(A\) 称为集合 \(B\) 的子集，记作 \(A \subseteq B\)，读作 \(A\) 包含于 \(B\)。
例如 \(A = \{1, 2, 3\}\)，\(B = \{1, 2, 3, 4\}\)，则有 \(A \subseteq B\)。
对于数集来说，有
2. 真子集
若 \(A \subseteq B\) 且 \(A \ne B\)，我们就称 \(A \subsetneqq B\)。
例如 \(A = \{1, 2, 3\}\)，\(B = \{1, 2, 3, 4\}\)，则有 \(A \subsetneqq B\)。
3. 集合相等
如果每一个元素都可以对应，就说明集合相等。
六、空集
不含任何元素的集合叫空集，记作 \(\varnothing\)。
- 空集属于任何集合。
- 空集是任何非空集合的真子集。
注意，\(\{\varnothing\}\) 不是空集。
七、集合的基本运算
1. 并集
指将两个集合所有元素合并组成的集合，记作 \(A\cup B\)。
写成集合语言就是
例如 \(\{1, 2, 3, 4\} \cup \{3, 4, 5, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)。
2. 交集
指包含所有同时属于 \(A\) 和 \(B\) 的元素，记作 \(A \cap B\)。
写成集合语言就是
例如 \(\{1, 2, 3, 4\} \cap \{3, 4, 5, 6\} = \{3, 4\}\)。
3. 补集
补集是指在一个全集中，不属于某个子集的所有元素组成的集合吗，记作 \(\complement_UA\)。
写成集合语言就是
例如在实数集中，\(\complement_{\mathbb{R}} = \{1\}\) 的可以表示成 \((-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\)。
4. 等价关系
5. 德摩根律
6. 容斥原理
八、充分条件和必要条件
1. 定义法
设有两个命题 \(p, q\)。
若 \(p \Rightarrow q\)，就称 \(p\) 是 \(q\) 的充分条件。
若 \(p \Rightarrow q\) 且 \(q \nRightarrow p\)，就称 \(p\) 是 \(q\) 的充分不必要条件。
若 \(q \Rightarrow p\)，就称 \(p\) 是 \(q\) 的必要条件。
若 \(q \Rightarrow p\) 且 \(p \nRightarrow q\)，就称 \(p\) 是 \(q\) 的必要不充分条件。
若 \(p \Rightarrow q\) 且 \(q \Rightarrow p\)，就称 \(p\) 是 \(q\) 的充要条件。
若 \(p \nRightarrow q\) 且 \(q \nRightarrow p\) 就称 \(p\) 是 \(q\) 的既不充分也不必要条件。
2. 集合法
设集合 \(A\) 和集合 \(B\) 分别是命题所构成的集合。
若 \(A \subseteq B\)，就称 \(p\) 是 \(q\) 的充分条件。
若 \(B \subseteq A\)，就称 \(p\) 是 \(q\) 的必要条件。
若 \(A \subsetneqq B\)，就称 \(p\) 是 \(q\) 的充分不必要条件
若 \(B \subsetneqq A\)，就称 \(p\) 是 \(q\) 的必要不充分条件。
若 \(A = B\)，就称 \(p\) 是 \(q\) 的充要条件。
九、全称量词和存在量词
1. 全程量词
全称量词表示所有、任意一个，记作 \(\forall\)。
写成集合语言就是
例子：对任意 \(x \in \{x\mid x > -1\}, 3x + 4 > 0\) 成立，可以记作 \(\forall x > -1, 3x + 4 > 0\)。
2. 存在量词
存在量词表示存在一个、至少有一个，记作 \(\exists\)。
写成集合语言就是
例子：有些整数 \(a, b\) 既能被 \(2\) 整除，也能被 \(3\) 整除，可以记作 \(\exists x \in \mathbb{Z}, x \bmod 2 = 0 \text{且} x \bmod 3 = 0\)。
3. 命题的否定
对于全称量词的否定是
对于存在量词的否定是
记忆法：改量词，否结论。
例题
- 已知集合 \(A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 + x - 6 = 0\}\)，\(B = \{x \in \mathbb{R}\mid ax - 1 = 0\}\)，若 \(B \subseteq A\)，则实数 \(a\) 的值可能是多少。
首先解方程得到 \(A = \{2, -3\}\)，然后分三种情况考虑：
- 当 \(a = 0\) 时，\(B\) 显然是空集，这时候 \(B \subseteq A\)。
- 代入 \(x = 2\) 时，\(a = \dfrac{1}{2}\)。
- 代入 \(x = -3\) 时，\(a = -\dfrac{1}{3}\)。
综上，\(a = \{0, 2, -3\}\)。
- 已知集合 \(A = \{x \mid -2 \le x \le 7\}\)，\(B = \{x \mid m + 1 \le x \le 2m - 1\}\)，若 \(B \subseteq A\)，求实数 \(m\) 的取值范围。
分三种情况讨论：
若 \(B = \varnothing\)，则 \(m + 1 > 2m - 1\)，解得 \(m < 2\)。
若 \(B \ne \varnothing\)，则 \(m \ge 2\)，列方程得到 \(\begin{cases} m + 1 \ge -2 \\2m - 1 \le 7\end{cases}\) 解得 \(-3 \le m \le 4\)，由于 \(m < 2\) 无解，所以范围是 \(2 \le m \le 4\)。
所以最后的答案就是两个的并集，写成区间就是 \((-\infty, 4]\)。
- 已知集合 \(A = \{x \mid -1 \le x < 2\}\)，\(B = \{x \mid x < a\}\)，若 \(A \cap B \ne \varnothing\)，求实数 \(a\) 的取值范围。
因为 \(A \cap B \ne \varnothing\)，所以 \(A\) 和 \(B\) 一定有交集。
所以 \(a \in (-1, +\infty)\)。
- \(\operatorname{card}(A) = \operatorname{card}(B) = \operatorname{card}(C) = 6\)，\(\operatorname{card}(A \cap B) = \operatorname{card}(A \cap C) = \operatorname{card}(B \cap C) = 4\)，求 \(\operatorname{card}(A \cap B \cap C)\) 的可能值。
设中间的为 \(x\)，看一下图。
集合大小一定具有非负性，所以 \(\begin{cases} x - 2 \ge 0\\ 4 - x \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}\) 解得 \(2 \le x \le 4\)。
- 设集合 \(A=\{x \mid x^2+x-6=0\}, \quad B=\{x \mid mx+1=0\}\)，则 \(B\) 是 \(A\) 的真子集的一个充分不必要条件是什么？
解方程得到 \(A = \{2, -3\}\)，分三种情况讨论：
若 \(m = 0\)，则 \(B = \varnothing\)。
- 代入 \(x = 2\) 时，\(a = -\dfrac{1}{2}\)。
- 代入 \(x = -3\) 时，\(a = \dfrac{1}{3}\)。
但是由于 \(B \subsetneqq A\)，所以要去除至少一个。
- 若命题 \(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + x + a - 1 < 0\)，求 \(a \in \mathbb{R}\) 的取值范围。
因为 \(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + x + a - 1 < 0\)，所以图像一定交于 \(x\) 轴。
由于是 \(< 0\)，所以 \(\Delta > 0\)，即 \(1 - 4(a - 1) > 0\)，解得 \(a < \dfrac{5}{4}\)。
- 已知函数 \(f(x) = x^2 + ax + 3\)，若 \(\forall x \in [1, 2]\)，恒有 \(f(x) \ge 0\)，求 \(a \in \mathbb{R}\) 的取值范围。
该函数与 \(y\) 轴交于 \((0, 3)\)，当顶点交于 \(x\) 轴时，恰好能够满足条件。
函数顶点横坐标为 \(-\dfrac{a}{2}\)，当顶点从 \((0, 3)\) 到达 \((x', 0)\) 时，\(y\) 增加了 \(3\)，则当前 \(x'\) 为 \(\sqrt3\)。
即 \(-\dfrac{a}{2} \le \sqrt3\)，解得 \(a \in [2\sqrt3, +\infty)\)。
- 若存在实数 \(x \in [2, 4]\)，使 \(x^2 - 2x + 5 - m < 0\) 成立，求 \(m\) 的取值范围。
移项得 \(x^2 - 2x + 5 < m\)，找到 \(x \in [2, 4]\) 的最低点，即 \(x = 2\)，求得 \(m \in (5, +\infty)\)。
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