20260518 背包DP

概念

0-1 背包

有 \(N\) 件物品和一个容量为 \(M\) 的背包。第 \(i\) 件物品的重量是 \(W_i\)，价值是 \(D_i\)。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

我们设 \(dp_i,_j\) 表示选了前 \(i\) 个，重量为 \(j\) 的最大价值。

显然可以选或不选，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);

完全背包

有 \(N\) 件物品和一个容量为 \(M\) 的背包。第 \(i\) 件物品的重量是 \(W_i\)，价值是 \(D_i\)。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大，每个可以选多次。

显然，可以在 \(DP\) 转移的时候变一下，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - v[i]]);

多重背包

有 \(N\) 件物品和一个容量为 \(M\) 的背包。第 \(i\) 件物品的重量是 \(W_i\)，价值是 \(D_i\)，可以选 \(L_i\) 个。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

\(DP\) 时可以枚举选了几个。

二进制优化

把物品拆成 \(\log n\) 个数量，这样可以优化到 \(\log n\)。

空间优化

1. 滚动数组
2. 重复利用

因为 dp[i][j] 只会转移到 dp[i + 1][j] 和 dp[i + 1][j + v[i + 1]]，所以可以重复利用数组。

注意循环方向。

树上背包

首先这里很容易写错。
不能直接枚举，要记录一个字树，然后枚举时取最小值。
这样复杂度就降下来了。

恰好的背包

初始化一个值即可。

时间复杂度

0-1 背包：\(O(nm)\)。

完全背包：\(O(nm)\)。

多重背包（暴力）：\(O(nml)\)。

多重背包（二进制优化）：\(O(nm\log l)\)。

多重背包（单调队列优化）：\(O(nm)\)。

树上背包（暴力）：\(O(n^2m)\)。

树上背包（优化）：\(O(nm)\)。

例题

F

注意到，每增加一次，\(t_i\) 就增加 \(1\)。

我们就会发现，要求的就是 \(t\) 的总和的容量大于或等于 \(n\) 的背包。

I

先按 \(d\) 排序。
然后就是一个背包，然后输出路径。