20251206 - 并查集

20251206 - 并查集总结

如果要求出两个东西是否在集合里，怎么办？

把它存在图里，再离线处理。

Tarjan 巨佬提出了并查集。

查找

如果要判断两个人是否是同一个省的人，可以问问你们的代表人物是谁？

如果相同，就是同一个省的。

所以，记录每一个元素的父亲，再每次向上找即可。

递归版：

int find(int x) {
    if (fa[x] == x) return x;
    return find(fa[x]);
}

迭代版:

int find(x) {
    while (fa[x] != x) {
        x = fa[x];
    }
    return x;
}

合并

合并时，找到两个集合的代表元，把一个集合的代表元改到另一个即可。

void unite(int x, int y) {
    x = find(x), y = find(y);
    if (x != y) fa[x] = y;
}

优化

优化1：启发式合并

如果不优化，时间复杂度可能会飙到 \(O(n)\)，就像可怜的二叉搜索树一样，怎么优化呢？平衡树

可以把子树节点少的连向节点多的，这样子，树高可以稳定在 \(\log_2 n\)。

期望复杂度：\(O(\log_2 n)\)。

int find(int x) {
    if (fa[x] == x) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}
void unite(int x, int y) {
    x = find(x), y = find(y);
    if (x == y) return;
    if (sz[x] > sz[y]) swap(x, y);
    fa[x] = y;
    sz[y] += sz[x];
}

优化2：路径压缩

我们只要知道代表元，我们可以将父亲直接连向代表元，这是非常大的优化，可以从 \(O(\log_2 n)\) 优化到 \(O(α(n))\)，\(α\) 是阿克曼反函数，可以当作不超过 \(4\) 的常数。

代码：

int find(int x) {
    if (fa[x] == x) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

时间复杂度

优化1：启发式合并

期望复杂度：\(O(\log_2 n)\)。

实际复杂度：不知道。

优化2：路径压缩

期望复杂度：\(O(α(n))\)。

实际复杂度：不知道。

题外话

Tarjan 巨佬说："如果不用启发式合并，只用路径压缩，时间复杂度最坏也是 \(O(\log_2 n)\)，但均摊 \(O(α(n))\)。"

例题：

1. 并查集

int find(int x) {
	if (fa[x] == x) return x;
	return fa[x] = find(fa[x]);
}
void unite(int x, int y) {
	x = find(x), y = find(y);
	if (x != y) {
		fa[x] = y;
	}
}
void solve() {
    n = read(), m = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
	while (m--) {
		int op, x, y;
		op = read(), x = read(), y = read();
		if (op == 1) {
			unite(x, y);
		}else {
			printf("%c\n", find(x) == find(y) ? 'Y' : 'N');
		}
	}
}

2.资料分发 1

就是求连通分量个数。

void solve() {
	n = read(), m = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x, y;
		x = read(), y = read();
		unite(x, y);
	}
	int res = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		res += fa[i] == i;
	printf("%d\n", res); 
	return 0;
}

3.连通图

就是求连通分量个数。

void solve() {
	n = read(), m = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x, y;
		x = read(), y = read();
		unite(x, y);
	}
	int res = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		res += fa[i] == i;
	printf("%d\n", res - 1); 
	return 0;
}

4.朋友

map 来搞并查集。

map<int, int>fa;
int find(int x) {
	if (fa[x] == x) return x;
	return fa[x] = find(fa[x]);
}
void unite(int x, int y) {
	x = find(x), y = find(y);
	if (x != y) {
		fa[x] = y;
	}
}
int main() {
	n = read(), m = read(), P = read(), Q = read();
	for (int i = -m; i <= n; i++) {
		fa[i] = i;
	}
	while (P--) {
		int x, y;
		x = read(), y = read();
		unite(x, y);
	}
	while (Q--) {
		int x, y;
		x = read(), y = read();
		unite(x, y);
	}
	int ans1 = 0, ans2 = 0;
	for (int i = -m; i <= -1; i++) {
		if (find(-1) == find(fa[i])) ans1++;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (find(1) == find(fa[i])) ans2++;
	printf("%d\n", min(ans1, ans2));
	return 0;
}

5.营救

怎么这么像最小生成树呢？

int fa[N];
int find(int x) {
	if (fa[x] == x) return x;
	return fa[x] = find(fa[x]);
}
void unite(int x, int y) {
	x = find(x), y = find(y);
	if (x != y) {
		fa[x] = y;
	}
}
int n, m, s, t;
vector<array<int, 3>> edges;
int main() {
	n = read(), m = read(), s = read(), t = read();
	edges.resize(m);
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		scanf("%d%d%d", &edges[i][1], &edges[i][2], &edges[i][0]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
	sort(edges.begin(), edges.end());
	for (auto [w, x, y] : edges) {
		int l = find(x), r = find(y);
		if (l != r)
			fa[l] = r;
		if (find(s) == find(t)) {
			printf("%d\n", w);
			return 0;
		}
	}
	return 0;
}

6. 炸铁路

暴力的没边了。

struct node {
	int u, v;
} e[N];
vector<pair<int, int>> ans;
int fa[N];
int find(int x) {
	if (fa[x] == x) return x;
	return fa[x] = find(fa[x]);
}
void unite(int x, int y) {
	x = find(x), y = find(y);
	if (x != y) {
		fa[x] = y;
	}
}
void solve(int x) {
	for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		if (i != x) {
			unite(e[i].u, e[i].v);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
			if (find(i) != find(j)) {
				ans.pb({e[x].u, e[x].v});
				return;
			}
		}
	}
}
int main() {
	n = read(), m = read();
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int a, b;
		a = read(), b = read();
		e[++idx] = {a, b};
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		solve(i);
	}
	sort(ans.begin(), ans.end());
	for (auto [x, y] : ans) {
		if (x > y) swap(x, y);
		printf("%d %d\n", x, y);
	}
	return 0;
}