20251201 - 换根dp总结

20251201 - 换根dp总结

换根 dp，就是先预处理出一些信息，然后再转移。

一般的可以先考虑子树内的答案，在扩展到字树外。

扩展到字树外可以先考虑根节点到他的子节点的转移，在扩展到其他的点。

例题

P1395 会议

这道题可以先求出以 1 号点为根的子树的大小，那么子树外的大小就是 n - siz[u]。

预处理出来后，枚举每一个点，统计求 min 就好了。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e5 + 7;
const int P = 998244353;
const int inf = (1 << 30);
template<class T> void read(T &x){
  x = 0;int f = 1;char ch = getchar();
  while(!(ch >= '0' && ch <= '9')){if(ch == '-') f = -f;ch = getchar();}
  while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}
  x *= f;
}
int n;
vector<int> edges[N];
int pre[N], siz[N], dist[N];
inline void solve(int u, int from) {
  siz[u] = 1;
  for (auto v : edges[u]) {
    if (v == from) continue;
    pre[v] = u;
    solve(v, u);
    siz[u] += siz[v];
  }
}
inline void dfs(int u, int from) {
  for (auto v : edges[u]) {
    if (v == from) continue;
    dist[v] = dist[u] + 1;
    dfs(v ,u);
  }
}
int main(){
  read(n);
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int x, y;
    read(x), read(y);
    edges[x].push_back(y);
    edges[y].push_back(x);
  }
  pre[1] = -1;
  solve(1, 1);
  int id = 0, ans = inf;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    int now_ans = 0;
    for (auto v : edges[i]) {
      if (pre[v] == i) {
        now_ans = max(now_ans, siz[v]);
      }else {
        now_ans = max(now_ans, n - siz[i]);
      }
    }
    if (now_ans < ans) {
      ans = now_ans;
      id = i;
    }
  }
  dfs(id, id);
  printf("%d %d\n", id, accumulate(dist + 1, dist + n + 1, 0));
  return 0;
}

P3478 STA-Station

题目可以转换成选择一个点，从这个点出发，到达每一个点的路径和最大。

那么可以设 siz[i] 为以 i 为根的子树的节点数，f[i] 为从 i 到子树内的点的和。

那么 f[u] 可以由 f[v] + siz[v] 来转移（因为从 u -> v，多了 siz[v] 个点）。

再设 c[i] 为从 i 到子树外的点的和。

当 u = 1 时，c[1] = 0，如果从 1 转移到 2，就会产生 (f[1] + c[1]) + (n - siz[2]) - (siz[2] + f[2]) 的贡献（总数 + 子树外 + 子树内）。

推广一下，就得 c[v] = (c[u] + f[u]) + (n - siz[v]) - (f[v] + siz[v])。

最终的答案就是 \(\max _{1 \le i \le n} f[i] + c[i]\)。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e6 + 7;
const int P = 998244353;
const int inf = (1 << 30);
template<class T> void read(T &x){
  x = 0;int f = 1;char ch = getchar();
  while(!(ch >= '0' && ch <= '9')){if(ch == '-') f = -f;ch = getchar();}
  while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}
  x *= f;
}
int n;
vector<int> edges[N];
ll siz[N], f[N], c[N];
inline void solve(int u, int from) {
  siz[u] = 1;
  for (auto v : edges[u]) {
    if (v == from) continue;
    solve(v, u);
    siz[u] += siz[v];
    f[u] += f[v] + siz[v];
  }
}
inline void dfs(int u, int from) {
  for (auto v : edges[u]) {
    if (v == from) continue;
    c[v] = (c[u] + f[u]) + (n - siz[v]) - (f[v] + siz[v]);
    dfs(v ,u);
  }
}
int main(){
  read(n);
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int x, y;
    read(x), read(y);
    edges[x].push_back(y);
    edges[y].push_back(x);
  }
  solve(1, 1);
  dfs(1, 1);
  // for (int i = 1; i <= n; i++) 
    // printf("%d\n", c[i] + f[i]);
  ll id = 0, ans = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (c[i] + f[i] > ans)
      ans = c[i] + f[i], id = i;
  }
  printf("%lld\n", id);
  return 0;
}

树的直径

首先先从 \(1\) 号点进行 dfs，求出最大值，再从最大值做一遍 dfs，再次求最大值就好了。

证明见 树的直径 - OI Wiki。