20251122 - 树的直径、重心、中心

树的基本概念

树是一种典型的非线性数据结构，是一种特殊的图，最大的特点就是没有环，所以他有许多良好的性质（比如可以 dp）。更绝的是，考的题目一般都很难！

树的直径

树的直径是指树中任意两点间的最长距离。

如何求出直径

方法零：

枚举每一个点，记录每一个点到其他点的距离，再求最大值。

时间复杂度：\(O((n + m)^2)\)

方法一：

先从任一点做一遍 dfs，求出距离最长的点，再从这个点再求一遍 dfs，求最长距离。

时间复杂度：\(O(n+m)\)

可这个算法 和Dijkstra一样，不能处理负权边，那可怎么办？SPFA 树形 dp。

方法二：

在 dfs 的过程中，求出最长路和次长路，再相加就是直径的长度。

但不知道能不能求直径的两个端点

时间复杂度：\(O(n+m)\)

树的重心

树的重心就是把一个点扣掉后，剩下的子树的大小最大值最小的点就是树的重心。

如何求出重心

方法零：

枚举每一个点，做一次 dfs 即可。

时间复杂度：\(O((n + m)^2)\)

方法一：

记录 size 数组表示子树的大小，那么其他的大小就是 \(n-size[u]\)，这样子就可以求出重心了！

时间复杂度：\(O(n+m)\)

其实就是换根dp

树的中心

到其他点的距离最大值最小的点叫做树的中心。

方法一：

树形 dp 时记录一下即可。

方法二：

找到直径端点，在往上跳呀跳呀跳，在按照奇偶性搞一下就好了。

例题：

树的直径（两次dfs）

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e5 + 7;
const int P = 998244353;
const int inf = (1 << 30);
template<class T> void read(T &x){
  x = 0;int f = 1;char ch = getchar();
  while(!(ch >= '0' && ch <= '9')){if(ch == '-') f = -f;ch = getchar();}
  while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}
  x *= f;
}
int n;
vector<int>edges[N];
int dist[N];
int max_(){
  int id = 0,mx = 0;
  for(int i = 1;i <= n;i++){
    if(dist[i] > mx){
      mx = dist[i];
      id = i;
    }
  }
  return id;
}
inline void dfs(int u,int from){
  for(auto v : edges[u]){
    if(v == from) continue;
    dist[v] = dist[u] + 1;
    dfs(v,u);
  }
}
int main(){
  read(n);
  for(int i = 1;i < n;i++){
    int x,y;
    read(x),read(y);
    edges[x].push_back(y);
    edges[y].push_back(x);
  }
  dfs(1,1);
  int id = max_();
  dist[id] = 0;
  dfs(id,id);
  id = max_();
  printf("%d\n",dist[id]);
  return 0;
}

树的重心（老师怎么突然改题啊！）

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e5 + 7;
const int P = 998244353;
const int inf = (1 << 30);
template<class T> void read(T &x){
  x = 0;int f = 1;char ch = getchar();
  while(!(ch >= '0' && ch <= '9')){if(ch == '-') f = -f;ch = getchar();}
  while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}
  x *= f;
}
int n,siz[N],pre[N],dep[N];
vector<int>edges[N];
inline void dfs(int u){
  siz[u] = 1;
  for(auto v : edges[u]){
    if(pre[u] == v) continue;
    pre[v] = u;
    dep[v] = dep[u] + 1;
    dfs(v);
    siz[u] += siz[v];
  }
}
int main(){
  read(n);
  for(int i = 1;i < n;i++){
    int x,y;
    read(x),read(y);
    edges[x].push_back(y);
    edges[y].push_back(x);
  }
  pre[1] = -1;
  dfs(1);
  int now_ans = inf,id;
  for(int i = 1;i <= n;i++){
    int res = 0;
    for(auto v : edges[i]){
      if(pre[v] == i){
        res = max(res,siz[v]);
      }else{
        res = max(res,n - siz[i]);
      }
    }
    if(res < now_ans){
      id = i;
      now_ans = res;
    }
  }
  printf("%d ",id);
  dep[id] = 0;
  pre[id] = -1;
  dfs(id);
  printf("%d\n",accumulate(dep+1,dep+n+1,0));
  return 0;
}

树的中心

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e5 + 7;
const int P = 998244353;
const int inf = (1 << 30);
template<class T> void read(T &x){
  x = 0;int f = 1;char ch = getchar();
  while(!(ch >= '0' && ch <= '9')){if(ch == '-') f = -f;ch = getchar();}
  while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}
  x *= f;
}
int n;
vector<int>edges[N];
int dist[N],fa[N];
int max_(){
  int id = 0,mx = 0;
  for(int i = 1;i <= n;i++){
    if(dist[i] > mx){
      mx = dist[i];
      id = i;
    }
  }
  return id;
}
inline void dfs(int u,int from){
  for(auto v : edges[u]){
    if(v == from) continue;
    fa[v] = u;
    dist[v] = dist[u] + 1;
    dfs(v,u);
  }
}
int main(){
  read(n);
  for(int i = 1;i < n;i++){
    int x,y;
    read(x),read(y);
    edges[x].push_back(y);
    edges[y].push_back(x);
  }
  dfs(1,1);
  int id = max_();
  dist[id] = 0;
  dfs(id,id);
  id = max_();
  int dist_max = dist[id];
  // printf("%d\n",dist_max);
  if(!(dist_max & 1)){
    for(int i = 1;i <= dist_max / 2;i++)
      id = fa[id];
    printf("%d\n",id);
  }else{
    for(int i = 1;i <= (dist_max - 1) / 2;i++) // 跳啊跳啊跳！
      id = fa[id];
    printf("%d %d\n",min(id,fa[id]),max(id,fa[id]));
  }
  return 0;
}