【从入门到省选（放弃）】洛谷算法刷题题单

跟着B站大佬的视频学习各类算法，整理了一份【从入门到省选】的题单。（鉴于个人水平有限，可能会变成《从入门到放弃》(T v T)）。分享给有同样需求的你。

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D - 图论

【Dijkstra】

题目来源	标题	难度	星级	考察算法	一句话思路总结
洛谷	P3371 单源最短路径（弱化版）	普及	⭐⭐⭐	Dijkstra（堆优化）	用优先队列维护当前最短距离节点，每次取出最小点进行松弛，时间复杂度 \(O(m \log n)\)，空间复杂度 \(O(n+m)\)

【Floyd】

题目来源	标题	难度	星级	考察算法	一句话思路总结
洛谷	B3647 Floyd	普及	⭐⭐	Floyd-Warshall	使用动态规划思想，通过三重循环枚举中间节点 \(k\) 来松弛所有点对 \((i,j)\) 的距离，最终得到全源最短路径，时间复杂度 \(O(n^3)\)，空间复杂度 \(O(n^2)\)
洛谷	P6175 无向图的最小环问题	普及	⭐⭐⭐	Floyd	在 Floyd 更新过程中，利用未经过中间节点 \(k\) 的最短路 dist[i][j] 与两条直接边构成环，枚举所有 \(i<j<k\) 取最小值，时间复杂度 \(O(n^3)\)，空间复杂度 \(O(n^2)\)

【Johnson】

题目来源	标题	难度	星级	考察算法	一句话思路总结
洛谷	P5905 全源最短路（Johnson）	提高	⭐⭐⭐⭐	Johnson + SPFA + Dijkstra	用 SPFA 求势函数并检测负环，重赋权使边权非负后对每个点做 Dijkstra，还原真实距离，时间复杂度 \(O(n m \log n)\)，空间复杂度 \(O(n+m)\)

【SPFA】

题目来源	标题	难度	星级	考察算法	一句话思路总结
洛谷	P3385 负环	普及	⭐⭐⭐	SPFA（判负环）	使用 SPFA 记录每个节点被松弛的次数，若某节点松弛次数达到 \(n\) 则说明存在负环；注意仅当该负环从顶点 1 可达时才输出 YES，时间复杂度 \(O(nm)\)，空间复杂度 \(O(n+m)\)
洛谷	P4779 单源最短路径（标准版）	普及	⭐⭐⭐	Dijkstra（堆优化）	用优先队列维护当前最短距离，每次取最小点松弛邻接边，直至所有点确定，时间复杂度 \(O(m \log n)\)，空间复杂度 \(O(n+m)\)

【生成树】

题目来源	标题	难度	星级	考察算法	一句话思路总结
洛谷	P3366 最小生成树	普及	⭐⭐⭐	最小生成树（Prim/Kruskal）	使用 Kruskal 将边按权值排序，贪心加入不形成环的边直至连通；或使用 Prim 逐步扩展最近节点，判断图连通性，时间复杂度 \(O(M \log M)\)，空间复杂度 \(O(N+M)\)

【最近公共祖先】

题目来源	标题	难度	星级	考察算法	一句话思路总结
洛谷	P3379 最近公共祖先（LCA）	普及	⭐⭐⭐	倍增法 / Tarjan离线 / 树链剖分	预处理每个节点的 \(2^k\) 级祖先，查询时先调深度再同步上跳，\(O(\log N)\) 回答每次询问；或使用 Tarjan 离线算法一次 DFS 处理所有查询，总复杂度 \(O(N+M)\)；树链剖分通过链顶跳跃实现 \(O(\log N)\) 查询，空间 \(O(N)\) 或 \(O(N \log N)\)

【树链剖分】

题目来源	标题	难度	星级	考察算法	一句话思路总结
洛谷	P3384 重链剖分	提高+	⭐⭐⭐⭐	树链剖分 + 线段树	用树链剖分将路径和子树转化为连续区间，用线段树维护区间加和区间和，支持路径/子树加与求和，时间复杂度 \(O((N+M)\log^2 N)\)，空间复杂度 \(O(N)\)

【强连通分量】

题目来源	标题	难度	星级	考察算法	一句话思路总结
洛谷	P2341 受欢迎的牛	普及+	⭐⭐⭐⭐	Tarjan强连通分量 + 缩点	用Tarjan求强连通分量并缩点为DAG，统计各SCC出度，若恰好有1个出度为0的SCC则其大小即为明星牛数量，否则为0，时间复杂度 \(O(N+M)\)，空间复杂度 \(O(N+M)\)
洛谷	P2812 校园网络	提高+	⭐⭐⭐⭐⭐	Tarjan + 缩点	用 Tarjan 求出强连通分量并缩点，统计入度和出度为 0 的分量数，第一问为入度 0 的数量，第二问为 max(入度0, 出度0)（单分量时 0），时间复杂度 \(O(n+m)\)，空间复杂度 \(O(n+m)\)
洛谷	P3387 缩点	普及+	⭐⭐⭐	Tarjan + 缩点 + DAG DP	用 Tarjan 求强连通分量并缩点，将每个分量的点权累加，在 DAG 上按逆拓扑序 DP 求最长路径和，时间复杂度 \(O(n+m)\)，空间复杂度 \(O(n+m)\)
洛谷	P3388 割点	普及+	⭐⭐⭐⭐	Tarjan / 割点判定	DFS 遍历无向图维护每个节点的 dfn（时间戳）和 low（能回溯到的最早祖先），对于非根节点若存在子节点 \(y\) 满足 low[y] >= dfn[x] 则 \(x\) 是割点，对于根节点需有两个以上独立子树才是割点，最终统计并输出所有割点。

【双连通分量】

题目来源	标题	难度	星级	考察算法	一句话思路总结
洛谷	P1656 炸铁路	普及-	⭐⭐⭐	Tarjan / 桥（割边）判定	DFS 遍历无向图维护每个节点的 dfn（时间戳）和 low（能回溯到的最小 dfn），对于树边 \((x,y)\) 若 low[y] > dfn[x] 则该边是桥（删除后 \(y\) 的子树与图其余部分断开），用 j != (in_edg ^ 1) 避免走回头路，最后将所有桥按端点排序输出。
洛谷	P2860 Redundant Paths	提高+	⭐⭐⭐⭐⭐	边双连通分量（Tarjan）/ 缩点	用 Tarjan 算法标记所有桥并求出边双连通分量缩点，缩点后得到一棵树，统计树中度数为 \(1\) 的叶子节点数量 \(leaf\)，最少需要添加 \((leaf+1)/2\) 条新边将叶子两两配对连接，使图变为边双连通。
洛谷	P8435 点双连通分量	普及+	⭐⭐⭐⭐	Tarjan / 点双连通分量	DFS 遍历无向图维护 dfn 和 low，对于子节点 \(y\) 若 low[y] >= dfn[x] 则 \(x\) 是割点，此时从栈中弹出节点直到 \(y\) 并与 \(x\) 一起构成一个点双连通分量（割点会保留在栈中供后续分量复用），孤立节点单独成分量，最终输出所有分量。

【二分图】

题目来源	标题	难度	星级	考察算法	一句话思路总结
洛谷	P3386 二分图最大匹配	普及+	⭐⭐⭐	匈牙利算法（增广路）	用匈牙利算法对每个左部点尝试找增广路，若能找到则匹配数加 1，时间复杂度 \(O(n \cdot e)\)，空间复杂度 \(O(n+m+e)\)
洛谷	P6577 二分图最大完美匹配	省选	⭐⭐⭐⭐⭐	KM 算法（BFS 版）	利用可行顶标将问题转化为相等子图上的完美匹配，通过 BFS 增广和顶标调整逐步扩展相等子图，最终求得最大权匹配，时间复杂度 \(O(n^3)\)，空间复杂度 \(O(n^2)\)

【网络流】

题目来源	标题	难度	星级	考察算法	一句话思路总结
洛谷	P3376 网络最大流	提高+	⭐⭐⭐⭐⭐	Dinic / EK	利用残量网络和 BFS/DFS 反复寻找增广路径，每次增加瓶颈流量，直至无增广路，得到最大流，Dinic 平均复杂度 \(O(V^2 E)\)，空间 \(O(V+E)\)

【费用流】

题目来源	标题	难度	星级	考察算法	一句话思路总结
洛谷	P3381 最小费用最大流	提高+	⭐⭐⭐⭐⭐	SPFA + EK（费用流）	用 SPFA 在残量网络上按费用找最短增广路，沿路增广并更新残量网络，重复直至无增广路，得到最大流及最小费用，时间复杂度 \(O(F \cdot E \cdot V)\)，空间复杂度 \(O(V+E)\)

【2-SAT】

题目来源	标题	难度	星级	考察算法	一句话思路总结
洛谷	P4782 2-SAT	提高+	⭐⭐⭐⭐	Tarjan + 2-SAT	将每个变量拆为真假节点，子句转蕴含边，用 Tarjan 求 SCC 判断矛盾，按 SCC 逆拓扑序赋值，时间复杂度 \(O(n+m)\)，空间复杂度 \(O(n+m)\)

E - 动态规划

【树形DP】

题目来源	标题	难度	星级	考察算法	一句话思路总结
洛谷	B4016 树的直径	普及	⭐⭐	DFS / BFS	两次 DFS：第一次从任意点找到最远端点，第二次从该端点找到最远距离，即为树的直径，时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)
洛谷	AT_agc001_c Shorten Diameter	普及+	⭐⭐⭐	枚举 + DFS	枚举树的中心点或中心边，统计半径内能覆盖的最大节点数，\(K\) 为偶数时中心为点，奇数为边，答案 \(= N - 最大覆盖数\)，时间复杂度 \(O(N^2)\)，空间复杂度 \(O(N)\)
洛谷	P2195 HXY造公园	普及+	⭐⭐⭐	并查集 + 树的直径 + 树形 DP	预处理每个连通块的直径，合并时用公式 \(\max(d_1, d_2, \lceil d_1/2 \rceil + \lceil d_2/2 \rceil + 1)\) 更新新直径，查询时直接输出，时间复杂度 \(O(n + q \cdot \alpha(n))\)，空间复杂度 \(O(n)\)
洛谷	P2610 旅游	普及+	⭐⭐⭐	对偶树 + 树的直径	将三角剖分转化为对偶树，求树的直径（边数），答案 = 直径边数 + 1，时间复杂度 \(O(n \log n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)
洛谷	P3304 直径	普及+	⭐⭐⭐⭐	树形 DP / 两次 DFS	用两次 DFS 求直径并记录路径，标记主直径后，从路径节点向非直径方向 DFS，判断是否存在绕过该边的直径，从而确定公共边区间，时间复杂度 \(O(N)\)，空间复杂度 \(O(N)\)
洛谷	CF911F Tree Destruction	提高+	⭐⭐⭐⭐	树的直径 + 贪心	先求直径并标记路径，非直径叶子与直径较远端点配对累加距离，最后依次删除直径上的点并累加，总答案最大，时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)
洛谷	P2491 消防	提高+	⭐⭐⭐⭐	树形 DP + 双指针	求直径后用双指针在直径上枚举长度不超过 \(s\) 的子路径，同时计算分支深度，取最小最大距离，时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)
洛谷	P4408 逃学的小孩	提高+	⭐⭐⭐⭐	树的直径 + 三次 DFS	求直径 \(D\)，再求每个点到直径两端距离较小值的最大值 \(E\)，答案 \(= D + E\)，时间复杂度 \(O(N)\)，空间复杂度 \(O(N)\)
洛谷	P3629 巡逻	省选	⭐⭐⭐⭐	树的直径 + 树形 DP	先求直径 \(D_1\)，\(K=1\) 时答案为 \(2(n-1)-D_1\)；\(K=2\) 时在直径路径上标记边权为 \(-1\) 后做树形 DP 求最长链 \(D_2\)，答案为 \(2(n-1)-D_1-D_2\)，时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)