题解：洛谷 P2812 校园网络

【题目来源】

洛谷：P2812 校园网络 / [IOI 1996 / USACO5.3] 校园网 Network of Schools 加强版

【题目描述】

共有 \(n\) 所学校 \((1 \leq n \leq 10000)\) 已知他们实现设计好的网络共 \(m\) 条线路，为了保证高速，网络是单向的。现在请你告诉他们至少选几所学校作为共享软件的母机，能使每所学校都可以用上。再告诉他们至少要添加几条线路能使任意一所学校作为母机都可以使别的学校使用上软件。

【输入】

第一行一个正整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行每行有若干个整数，用空格隔开。

第 \(i+1\) 行，每行输入若干个非零整数 \(x\)，表示从 \(i\) 到 \(x\) 有一条线路。以 \(0\) 作为结束标志。

【输出】

第一行一个整数，表示至少选几所学校作为共享软件的母机，能使每所学校都可以用上。

第二行一个整数，表示至少要添加几条线路能使任意一所学校作为母机都可以使别的学校使用上软件。

【输入样例】

5
2 0
4 0
5 0
1 0
0

【输出样例】

2
2

【核心思想】

  1. 问题分析：给定一个 \(n\) 个节点的有向图，表示学校之间单向的线路。需要解决两个问题：

    • 至少选择几个节点作为“母机”（源点），使得从这些节点出发能到达所有其他节点。
    • 至少添加多少条有向边，使得图中任意一个节点作为母机都能到达所有其他节点（即整个图成为强连通图）。
      本质是有向图强连通分量（SCC）缩点后的问题：第一问等价于缩点后入度为 0 的强连通分量数量；第二问等价于将缩点后的 DAG 变为强连通图所需添加的最少边数，即 \(\max(\text{入度为0的分量数}, \text{出度为0的分量数})\)，但当只有一个分量时答案为 0。

  2. 算法选择：

    • Tarjan 算法求强连通分量：在线性时间内找到所有 SCC，并将每个节点归入所属分量。
    • 缩点建图：遍历原图每条边，若两个端点属于不同 SCC，则在新 DAG 中建立一条有向边，同时统计每个 SCC 的入度和出度。
    • 统计与计算：统计入度为 0 的 SCC 数量 \(a\) 和出度为 0 的 SCC 数量 \(b\)。第一问答案为 \(a\)，第二问答案为 \(max(a, b)\)（若 SCC 总数为 1，则答案为 0）。

  3. 关键步骤：

    • 读入数据：读取 \(n\)，对于每个节点 \(i\)，读取其所有出边（以 0 结束），存入邻接表 e。
    • Tarjan 求 SCC：对每个未访问节点调用 tarjan(u)，使用 dfn、low 数组记录时间戳，用栈维护当前 DFS 路径上的节点，当 dfn[u] == low[u] 时弹栈形成一个 SCC。
    • 缩点与统计：遍历所有原边 (u, v)，若 scc[u] != scc[v]，则在新图中有一条边 scc[u] -> scc[v]，增加 din[scc[v]] 和 dout[scc[u]]。
    • 计算答案：
      • 遍历所有 SCC，统计 din[i] == 0 的数量 a 和 dout[i] == 0 的数量 b。
      • 第一问输出 a。
      • 第二问：若 cnt == 1 输出 0，否则输出 max(a, b)。

  4. 时间/空间复杂度：

    • 时间复杂度：\(O(n + m)\)，Tarjan 算法和后续统计均为线性。
    • 空间复杂度：\(O(n + m)\)，存储原图和缩点后的统计数组。

  5. 强连通分量缩点的核心思想：

    • 有向图的强连通性：一个强连通分量内的节点可以互相到达，因此从任意一个节点出发就能到达分量内所有节点。
    • 缩点成 DAG：将每个 SCC 缩成一个节点，得到一个有向无环图（DAG），便于分析传播和连通性。
    • 入度为 0 的分量：在 DAG 中，入度为 0 的分量无法被其他分量到达，因此必须作为母机（源点）才能覆盖整个图。最少需要选所有入度为 0 的分量作为起点。
    • 添加最少边变为强连通：在 DAG 中，要使整个图强连通，需要从每个出度为 0 的分量连边到每个入度为 0 的分量。最少边数为 \(\max(\text{入度0分量数}, \text{出度0分量数})\)，但若只有一个 SCC，则已强连通，不需要添加边。
    • 适用于网络传播、信息流、可达性分析等场景。

【算法标签】

提高+ #强连通分量

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 10005;        // 最大节点数

vector<int> e[N];           // 邻接表存储图
int dfn[N];                 // DFS序（时间戳）
int low[N];                 // 通过回边能到达的最小DFN值
int tot;                    // 时间戳计数器

int stk[N];                 // Tarjan算法栈
int instk[N];               // 标记节点是否在栈中
int top;                    // 栈顶指针

int scc[N];                 // 存储每个节点所属的强连通分量编号
int cnt;                    // 强连通分量计数器

int din[N];                 // 每个强连通分量的入度
int dout[N];                // 每个强连通分量的出度

int n;                      // 节点数量

/**
 * Tarjan算法求强连通分量
 * @param x 当前节点
 */
void tarjan(int x)
{
    // 初始化当前节点的DFN和LOW值
    dfn[x] = low[x] = ++tot;

    // 将当前节点压入栈并标记
    stk[++top] = x;
    instk[x] = 1;

    // 遍历当前节点的所有邻接节点
    for (int y : e[x])
    {
        // 如果邻接节点y未被访问
        if (!dfn[y])
        {
            tarjan(y);                      // 递归访问y
            low[x] = min(low[x], low[y]);   // 更新low值
        }
        // 如果y已被访问且在栈中（回边）
        else if (instk[y])
        {
            low[x] = min(low[x], dfn[y]);   // 通过回边更新low值
        }
    }

    // 如果当前节点是强连通分量的根
    if (dfn[x] == low[x])
    {
        int y;
        ++cnt;  // 增加强连通分量计数

        // 弹出栈中节点直到遇到当前节点
        do
        {
            y = stk[top--];     // 弹出栈顶节点
            instk[y] = 0;       // 标记节点已出栈
            scc[y] = cnt;       // 记录节点所属的强连通分量
        }
        while (y != x);         // 直到弹出当前节点
    }
}

int main()
{
    // 输入节点数量
    cin >> n;

    // 输入图的边信息
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int a;
        // 读取以0结尾的邻接节点序列
        while (cin >> a, a)
        {
            e[i].push_back(a);  // 添加边i->a
        }
    }

    // 对每个未访问的节点执行Tarjan算法
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (!dfn[i])
        {
            tarjan(i);
        }
    }

    // 构建强连通分量之间的有向无环图（DAG）
    for (int x = 1; x <= n; x++)
    {
        for (int y : e[x])
        {
            // 如果x和y不在同一个强连通分量中
            if (scc[x] != scc[y])
            {
                din[scc[y]]++;      // 目标分量的入度增加
                dout[scc[x]]++;     // 源分量的出度增加
            }
        }
    }

    // 统计入度为0和出度为0的强连通分量数量
    int a = 0, b = 0;
    for (int i = 1; i <= cnt; i++)
    {
        if (!din[i]) a++;  // 入度为0的分量数（起点数）
        if (!dout[i]) b++; // 出度为0的分量数（终点数）
    }

    // 输出结果
    cout << a << endl;          // 需要分发的软件包数量（起点数）

    // 特殊情况：如果只有一个强连通分量，不需要额外边
    if (cnt == 1)
    {
        cout << 0 << endl;
    }
    else
    {
        // 需要添加的边数 = max(起点数, 终点数)
        cout << max(a, b) << endl;
    }

    return 0;
}

【运行结果】

5
2 0
4 0
5 0
1 0
0
2
2
posted @ 2026-09-01 16:51  团爸讲算法  阅读(14)  评论(0)    收藏  举报