题目：
给定一个十进制的正整数，写下从1开始，到N的所有整数，然后数一下其中出现“1”的个数。
要求：
写一个函数 f(N) ，返回1 到 N 之间出现的 “1”的个数。例如 f(12) = 5；
在32位整数范围内，满足条件的“f(N) =N”的最大的N是多少？
设计思想：
（解法一）
开始想到了一个最简单的方法来计算f(N)，那就是从1开始遍历，直到N结束，把其中每一个数中含有“1”的个数加起来，结果就是从1到N所有“1”的个数的和。这个方法很简单，但算法的实现效率是个大问题，如果N很大，则需要很长的运算时间才能得到计算结果。
（解法二）
找了一些资料，发现这也是编程之美里的一道题，得到一点启发。首先列出一些数字的情况，来找到其中隐藏的规律：
一位数： f（0）=0、f（1）=1、f（2~9）=1
两位数（以位数是3的为例，[十位]+[个位]）：
f（13）=4+2=6、f（23）=10+3=13 …… f（93）=10+10=20
通过分析发现，个位数出现1 的个数和个位数字与十位数有关：如果N的个位数大于等于1 ，则个位出现1的个数为十位数的数字加1；如果N的个位数的数字小于1，则个位出现1的个数为十位数的数字。十位出现1的次数：如果十位数字等于1，则十位出现1的个数为个位数字加1；如果十位数大于1，则十位出现1的个数为10次。
三位数（[百位]+[十位]+[个位]）：
f（103）=4+10+11=25、f（113）=14+14+12=40、f（123）=24+20+13=57……
f（193）=94+20+20=134、f（203）=100+20+21……
同理分析四位数、五位数……
（1）
源代码：
#include<iostream.h>
int f(int n)
{
int i,unit,decade;
int count=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
decade=i;
while(decade!=0)
{
unit=decade%10;
decade=decade/10;
if(unit==1)
{
count++;
}
}
}
return count;
}
void main()
{
int n,count;
cout<<"Please input N: ";
cin>>n;
count=f(n);
cout<<"From 1 to "<<n<<",there are "<<count<<" ones."<<endl;
}
运行结果：
（2）
源代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int f(int n)
{
int factor=1;
int count=0;
int high=0;
int current=0;
int low=0;
while(n/factor)
{
low=n%factor;
current=n/factor%10;
high=n/factor/10;
switch(current)
{
case 0:
count+=high*factor;
break;
case 1:
count+=high*factor+low+1;
break;
default:
count+=(high+1)*factor;
break;
}
factor*=10;
}
return count;
}
int main()
{
int n ;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
cout<<f(n)<<endl;
}
return 0;
}
运行结果：
总结：
如果只要求实现基本功能，那实际并不是很难，关键在于当N变得很大时，遍历绝对不是一个好方法，那么就要找到其中隐藏的规律，就像小学奥数一样，在一列数字中，把每个情况都拆开，然后分析，找到隐含的规律。在发现d过程可能要列举很多情况才能发现，也才能肯定最先找到的规律是否正确。不是到确认为止，还要继续扩展，四位数、五位数、六位数……甚至更大，再者就是不确定的N，需要它具有任意性、通用性，而不是单单的特殊的一个数字，类似“abcde”。
最近老师给的题目都来自《编程之美》里面，题目很典型，主要都是讲究思路和算法，有机会要看看这本书。
