从切比雪夫不等式到大数定理

1. 切比雪夫不等式

设随机变量 X 的期望和方差都存在，则对任意常数（任意小） ϵ，有：

P(|X−EX|≥ϵ)≤DXϵ2

或者写作：

P(|X−EX|<ϵ)≥1−DXϵ2

在对样本进行统计时：

P(|X−EX|≥ϵ)≤σ2nϵ2

这里的误差（ϵ），也就是 1-置信度；

2. 切比雪夫不等式举例

设随机变量（r.v.） X 和 Y 的数学期望都是 2，方差分别是 1 和 4，而相关系数是 0.5，利用切比雪夫不等式给出概率 P(|X−Y|<6) 的下界估计。

记 Z=X−Y，则 EZ=0，DZ=DX+DY−2cov(X,Y)=5−2ρXYDX−−−√DY−−−√=3，所以：

P(|X−Y|<6)=P(|Z−EZ|<6)≥1−DZ62=1112