拉普拉斯方程与复微分

对于 z=x+iy，有 f(z)=u+iv，则 f(⋅) 是复可微的，当且仅当它的偏导数满足所谓的柯西-黎曼方程，

∂u∂x=∂v∂y∂u∂y=−∂v∂x

进一步可推出著名的拉普拉斯方程：

∂2f∂2x+∂2f∂2y=0

证：∂f∂x=∂u∂x+i∂v∂x=∂v∂y−i∂u∂y ⇒ ∂2f∂2x=∂2u∂y∂x−i∂2v∂y∂x