级数的定义及敛散性的证明

首先要区别的是级数（series）和数列（sequence）的概念，序列是不同的数的组合，级数则是这些元素的和式。

1. 级数

将数列 un 的项 u1,u2,…,un,…，依次用加号连接起来的函数。数项级数的简称。如： u1+u2+…+un+… ，简写为 ∑un ， un 称为级数的通项，记 Sn=∑un 称之为级数的部分和。如果当 n→∞ 时 ，数列有极限，则说级数收敛，并以 S 为其和，记为 ∑un=S ；否则就说级数发散。

2. 简单证明

基本手段，1. 放缩，

级数 n+1−−−−−√−n√ 的敛散性：

∑n+1−−−−−√−n√=∑1n+1−−−−−√+n√>∑12n+1−−−−−√>∑12(n+1)

因此其是发散的；