导数的定义、性质及计算（导数的定义式计算）

• 导数，derivative，
  
  • first derivative：一阶导，second derivative：二阶导，
  • which derivative：几阶导？
  • a derivative：一个导数，并不确定阶数
• |x| 的导数，sign(x)（在 x=0 处没有定义）

1. 定义

设函数 y=f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量 Δx，x0+Δx也在该邻域时，对应的函数取得增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)。如果 Δy 与 Δx 之比，当 Δx→0 时，极限存在，则称函数 f(x) 在 x0 处可导（仅在 x0 这一点处，并不保证在所有点处），并称这个极限为函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数记为 f′(x0)，即：

f′(x0)=limΔx⇒0ΔyΔx=limΔx⇒0f(x0+Δx)−f(x0)Δx

例：给定一个函数 f 及自变量 x，定义：

Q(h)≡−f(x−2h)+16f(x−h)−30f(x)+16f(x+h)−f(x+2h)12h2

问 Q(h) 是 f 的几阶导数？

Q(h)≡===−f(x−2h)+16f(x−h)−30f(x)+16f(x+h)−f(x+2h)12h2(f(x−h)−f(x−2h))−15(f(x)−f(x−h)−f(x+h)+f(x))12h2+−(f(x+2h)−f(x+h))12h2f′(x−2h)−15f′(x−h)+15f′(x)−f′(x+h)12h15f′′(x−h)−3f′′(x−2h)12=f′′

2. ∇ 与 Δ

• ∇：梯度算子（gradient operator）
• Δ：delta，变化量；

考察下面（二元函数导数）的定义：

limΔx→0ΔfΔx=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=f′(x)

任取一个比较小的变化 Δx，则有：

Δf≈f(x+Δx)−f(x)=ΔxT⋅f′(x)

• f′(x)=(∂f∂x1,∂f∂x2)T
• Δf≈ΔxT⋅f′(x)=∂f∂x1Δx1+∂f∂x1Δx1

3. 导数的计算

f(x)={x2sin(1/x)0if x≠0if x=0

在 x=0 处是可微的，根据导数的定义：

f′(0)=limh→0f(0+h)−f(0)h=h2sin(1/h)−0h=0

然而，对于 x≠0，

f′(x)=2xsin(1/x)−cos(1/x)

在 x→0 时是没有极限的（cos(1/x) 一直在震荡）。