记张量积的数学记号为 ⊗。
1. linear
假设 V,W 为线性空间（vector spaces），f:V→W是线性（linear）的，如果满足：
f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)f(αv)=αf(v)
- f 表示的是两个线性空间的映射，从线性空间 V 到线性空间 W；
2. bilinear
有三个线性空间，U,V,W，f:U×V→W是双线性的（bilinear），如果：
f(u1+u2,v)=f(u1,v)+f(u2,v)f(u,v1+v2)=f(u,v1)+f(u,v2)f(αu,v)=αf(u,v)=f(u,αv)
- 当 v 固定，f(u,v) 在 u 中是线性的；
- f(u,v)=fv(u)=fv(u1+u2)=fv(u1)+fv(u2)
- f(αu,v)=fv(αu)=αfv(u)
- 当 u 固定时，f(u,v) 在 v 是线性的；
3. U⊗V
{bilinearU×V→W}≃Hom(U⊗V,W)
- U⊗V 仍然是线性空间（是一个新的线性空间），才能使双线性映射（bilinear maps） U×V→W 是 U⊗V→W上的线性映射（linear map）。
- 既然 U⊗V 是一个新的线性空间，不仿记为 X
- 此时 U⊗V→W 可被重新描述为 X→W
4. 张量的相关计算
U⊗V 该线性空间中的元素：{u⊗v|u∈U,v∈V}
因为 U⊗V 仍然构成线性空间（f(u,v):U⊗V），所以有：
f(u1+u2,v)=f(u1,v)+f(u2,v)⇒(u1+u2)⊗v=u1⊗v+u2⊗vf(u,v1+v2)=f(u,v1)+f(u,v2)⇒u⊗(v1+v2)=u⊗v1+u⊗v2f(αu,v)=αf(u,v)=f(u,αv)⇒(αu)⊗v=α(u⊗v)=u⊗(αv)
5. 一个实例
定义二维线性空间：R2=⟨e1,e2⟩，则 R2⊗R2的标准基由下述构成：
e1⊗e1,e1⊗e2,e2⊗e1,e2⊗e2
