傅里叶级数与复的傅里叶级数、傅里叶变换

eiθ=cosθ+isinθ⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪cosθ=12eiθ+12e−iθsinθ=12ieiθ−12ie−iθ

欧拉公式的存在，建立了三角函数与复指数之间的桥梁，也使得相当多的数学公式形式变得简单。

1. 傅里叶级数（fourier series）

u(t)=a02+∑+∞n=1(ancos2πnFt+bnsin2πnFt)

2. 傅里叶级数的复指数形式

为简化运算，不妨令 θ=2πnFt，则：

u(t)=====a02+∑+∞n=1(ancos2πnFt+bnsin2πnFt)a02+∑∞n=1(ancosθ+bnsinθ)a02+∑∞n=1((12an−12ibn)eiθ+(12an+12ibn)e−iθ)a02+∑∞n=1((12an−12ibn)ei2πnFt+(12an+12ibn)e−i2πnFt)∑∞n=−∞Unei2πnFt

其中：

Un=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12an−12ibn,12a012a|n|+12ib|n|,n≥1n=0n≤1

化为更一般的形式即为：

f(λ)=∑∞k=−∞tkeikλ,λ∈[0,2π]tk=12π∫2π0f(λ)e−ikλdλ