一题多解 —— 二项式分布的期望和方差的计算

1. 定义法

E(x)=====∑k=0Nk⋅(Nk)μk(1−μ)N−kN∑k=1N(N−1k−1)μk(1−μ)N−kNμ∑k=1N(N−1k−1)μk−1(1−μ)(N−1)−(k−1)Nμ(μ+(1−μ))N−1Nμ

2. 指示器变量（Indicator variable）

定义随机变量 xi∼b(1,μ)，xi,i=1,2,…,N 彼此独立同分布，由相互独立的随机变量，以相互独立的随机变量 x,z 为例，证明见 随机变量统计独立性的相关证明：

E[x+z]=E[x]+E[z]var[x+z]=var[x]+var[z]

则多项式随机变量 m，其实等价于：

m=x1+x2+…+xN

因此由：

E[m]=NE[xi]=Nμvar[m]=Nvar[xi]=Nμ(1−μ)

references

• Expectation of Binomial Distribution