【证明】—— 斐波那契

1. 黄金分割率与其共轭数

x+1=x2⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪ϕ=1+5√2ϕ^=1−5√2

也即像 ϕ,ϕ^ 的数，其实满足：

{ϕ+1=ϕ2ϕ^+1=ϕ^2

这一等式方便后续的定理推导。

2. 斐波那契数的通项

Fn=ϕn−ϕ^n5√

使用数学归纳法：

Fn+Fn+1=ϕn−ϕ^n5√+ϕn+1−ϕ^n+15√=ϕn(ϕ+1)−ϕ^n(1+ϕ^)5√=ϕnϕ2−ϕ^nϕ^25√=ϕn+2−ϕ^n+25√=Fn+2

此外因为 |ϕ^|<1，所以有：

|ϕ^i|5√<15√<12

Fn 的形式进一步可化简为：

Fn=⌊ϕn5√+12⌋