【等价转换】—— min/max 的转换与互相转换

0. min 与 max 的转换

⎧⎩⎨⎪⎪max(X,Y)=X+Y−min(X,Y)min(X,Y)=X+Y−max(X,Y)min(X,Y)+max(X,Y)=X+Y$$\{\begin{array}{rl}& max\left(X,Y\right)=X+Y-min\left(X,Y\right)\\ & min\left(X,Y\right)=X+Y-max\left(X,Y\right)\\ & min\left(X,Y\right)+max\left(X,Y\right)=X+Y\end{array}$$

1. max(X,Y)=n$max(X,Y)=n$ 的概率求解

将 max(X,Y)$max(X,Y)$ 或 min(X,Y)$min(X,Y)$ 首先转换为联合概率的形式，进一步通过如变量间的独立性简化计算：

max(X,Y)=n$max(X,Y)=n$ 可拆分成如下三项：

• X=n,Y<n$X=n,Y<n$
• X<n,Y=n$X<n,Y=n$
• X=n,Y=n$X=n,Y=n$

当然可将第三项合并到前两项的任意一项中。

则其：

Pr(max(X,Y)=n)=Pr(X<n,Y=n)+Pr(X=n,Y<n)+Pr(X=n,Y=n)=Pr(X<n,Y=n)+Pr(X=n,Y≤n)$$\begin{array}{rl}Pr(max(X,Y)=n)& =Pr(X<n,Y=n)+Pr(X=n,Y<n)+Pr(X=n,Y=n)\\ & =Pr(X<n,Y=n)+Pr(X=n,Y\le n)\end{array}$$

同理可将 min(X,Y)=n$min(X,Y)=n$ 拆分为如下三项：

• X>n,Y=n$X>n,Y=n$
• X=n,Y>n$X=n,Y>n$
• X=n,Y=n$X=n,Y=n$