Min-Max容斥 学习笔记

前言

• msjing的首篇学习笔记，估计以后就经常写了
• msjing on 26.7.21：其实之间写过的喵
• 起因是msjing说要挑战随机游走，（这里），于是进行大学习
• oi-wiki

\(\mathcal{Min-Max}\) 容斥基本内容

$\max\limits_{i \in S}{x_i} = \sum\limits_{T \subseteq S}{(-1)^{|T|-1}} \min\limits_{j \in T}{x_j}$ $\min\limits_{i \in S}{x_i} = \sum\limits_{T \subseteq S}{(-1)^{|T|-1}} \max\limits_{j \in T}{x_j}$

• 证明：我不会啊我不会

\(\mathcal{Min-Max}\) 容斥的推广

但是你可能觉得这个式子非常蠢，最大值明明可以直接求．之所以 min-max 容斥这么重要，是因为它在期望上也是成立的
——by oi-wiki

$E\left(\max\limits_{i \in S}{x_i}\right) = \sum\limits_{T \subseteq S}{(-1)^{|T|-1}} E\left(\min\limits_{j \in T}{x_j}\right)$

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$E\left(\min\limits_{i \in S}{x_i}\right) = \sum\limits_{T \subseteq S}{(-1)^{|T|-1}} E\left(\max\limits_{j \in T}{x_j}\right)$

• woc已get分界线

• 证明：我还是不会略略略

• 还有一堆牛逼的玩意但是鉴于 \(\LaTeX\) 太提莫难打了所以不搞了搞了我也不会

• 还有一个柿子但是msjing不会打lcm所以不搞了

• 这个玩意就非常牛逼了，因为期望题就可以做了

后话

• msjing去爆切题去了，不全的以后补，咕咕咕