P3232 [HNOI2013 / JSOI2013] 游走 解题思路梳理

前言

• 注意！本文不是题解，仅仅是msjing为了整理思路写的，且msjing不想再另搞一个分区了所以扔题解里了，以后写得多了再整理，咕咕咕，请前往正规题解处查看题解

solve前(?)

• 给一张无向图，一人随机虾极霸游走，给每个点编号，让总期望最小
• 好提莫难搞啊啊啊啊啊啊（提莫没有招惹任何人）
• 好吧有滚木个思路所以看看题解吧
• 注：msjing看到是这篇/bx/bx/bx

solve?

• 想让期望最小，贪心地想，让走的多的边编号小就是正确的
• 问题来到：如何统计边的期望
• 令 \(g_i\) 为边 \(i\) 经过期望次数，我们发现这个与这个边的两端有关，那么我们有柿子

$g_{x,y} = \dfrac{f_x}{d_x} + \dfrac{f_y}{d_y}$

• 其中，\(f_x , f_y\) 表示 \(x,y\) 的经过期望次数；\(d_x,d_y\) 表示 \(x,y\) 的度

• 我们来理解一下，对于一次到达 \(x\) 并且走 \(x \to y\) 这条边的概率是 \(\frac{1}{d_x}\)，所以乘上 \(f_x\)，由于可以从 \(x\) 或 \(y\) 到达这条边，所以是加和

• 下一步，问题转化为：求点经过期望次数即 \(f_i\)

• 仍然按上边定义，考虑 \(f_i\) 的受影响范围

• 令要求的点为 \(x\)，注意到与 \(x\) 有关的点就是 \(x\) 可以到的所有点，那么我们把他们全统计起来，有

$f_x = \sum\limits_{i=1}^{k}{\dfrac{f_i}{d_i}}$

• 其中，\(k\) 是与 \(x\) 相连的所有点的个数

• 我们再理解一下，我们已经知道每个点都和与它联通的节点有关，同上到一个点的概率为 \(\frac{1}{d_i}\)，同上得到柿子

• 但是还是要有注意的，共两点

  1. 第 \(1\) 个点认为走过了，所以 \(f_1 = 1+\sum\limits{\frac{f_i}{d_i}}\)
  2. 第 \(n\) 个点就要停了，所以直接 \(f_n = 0\)

• 我们发现所有柿子加起来是 \(n-1\) 个 \(n-1\) 元一次方程组，掏出 \(\mathscr{gaussjordan}\) 消元法，直接搞一下

代码实现

• 有几个关于上述的实现
  1. 由于我们把 \(n\) 踢飞了不计算 \(n\)，所以把 \(n-1\) 即可，但是要注意需要用 \(n\) 的时候要加回来
  2. 关于消完元的排序，就是贪心了
  3. 输入的边要记录一下后面要用
• 注意数组的大小，msjing已经飞起来了
• 代码就随便给了，没啥的，高斯消元就是板板板

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int maxn=510,maxm=125010,eps=1e-8;
long long read() {long long x=0,f=1;char ch=getchar();while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while (ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-'0');ch=getchar();}return x*f;}
int n,m;
int x[maxm],y[maxm],h[maxm<<1],to[maxm<<1],nxt[maxm<<1],tot,d[maxm];
void add(int x,int y) {tot++;to[tot]=y;nxt[tot]=h[x];h[x]=tot;}
double a[maxn][maxn],g[maxm],ans;
struct g_j
{
	void gauss_jordan()
	{
		for (int i=1;i<=n;i++)
		{
			int r=i;
			for (int j=i;j<=n;j++) if (fabs(a[j][i])>eps) {r=j;break;}
			if (r!=i) swap(a[r],a[i]);
			if(fabs(a[i][i])<eps) continue;
			for (int j=1;j<=n;j++)
			{
				if (j == i) continue;
				double t=a[j][i]/a[i][i];
				for (int k=i;k<=n+1;k++) a[j][k]-=t*a[i][k];
			}
		}
		for (int i=1;i<=n;i++) a[i][n+1]/=a[i][i];
	}
}G;
int main()
{
	n=read()-1,m=read();for (int i=1;i<=m;i++) x[i]=read(),y[i]=read(),add(x[i],y[i]),add(y[i],x[i]),d[x[i]]++,d[y[i]]++;
	a[1][n+1]=-1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i][i]=-1;
		for (int j=h[i];j;j=nxt[j])
		{
			int y=to[j];
			if (y!=n+1) a[i][y]=1.0/d[y];
		}
	}
	G.gauss_jordan();
	for (int i=1;i<=m;i++) g[i]=a[x[i]][n+1]/d[x[i]]+a[y[i]][n+1]/d[y[i]];
	sort(g+1,g+1+m);
	for (int i=1;i<=m;i++) ans+=g[i]*(m-i+1);
	printf("%.3lf\n",ans);
	return 0;
}

后话

• 这是第114篇文了如果你数了数发现不够那就是msjing大手发力了，哼哼哼哼哼哈啊啊啊啊啊啊，哈啊啊啊啊啊啊，啊啊啊啊啊啊啊，啊啊啊啊啊啊啊
• 附图一张

• msjing要开始挑战随机游走了

• 这里是26.7.9的msjing，昨天贺写完随机游走，大概理解了吧