位运算的应用

题目描述

在一条无限长的路上，有一排无限长的路灯，编号为1,2,3,4，…。

每一盏灯只有两种可能的状态，开或者关。如果按一下某一盏灯的开关，那么这盏灯的状态将发生改变。如果原来是开，将变成关。如果原来是关，将变成开。

在刚开始的时候，所有的灯都是关的。小明每次可以进行如下的操作：

指定两个数，a, t（a为实数，t为正整数）。将编号为[a],[2×a],[3×a],…,[t×a]的灯的开关各按一次。其中[k]表示实数k的整数部分。

在小明进行了n次操作后，小明突然发现，这个时候只有一盏灯是开的，小明很想知道这盏灯的编号，可是这盏灯离小明太远了，小明看不清编号是多少。

幸好，小明还记得之前的n次操作。于是小明找到了你，你能帮他计算出这盏开着的灯的编号吗？

输入格式

第一行一个正整数nn，表示nn次操作。

接下来有n行，每行两个数，ai,ti。其中ai是实数，小数点后一定有6位，ti是正整数。

输出格式

仅一个正整数，那盏开着的灯的编号。

输入输出样例

输入 #1复制

3
1.618034 13
2.618034 7
1.000000 21

输出 #1复制

20

说明/提示

记T=t1+t2+t3+…+tn。

对于30%的数据，满足T≤1000

对于80%的数据，满足T≤200000

对于100%的数据，满足T≤2000000

对于100%的数据，满足n≤5000,1≤ai<1000,1≤ti≤T

数据保证，在经过nn次操作后，有且只有一盏灯是开的，不必判错。而且对于所有的 i 来说，ti×ai 的最大值不超过 2000000。

题解一：使用异或运算

异或概念：

异或运算符”∧”，它的规则是若参加运算的**两个二进位同号，则结果为0**（假）；**异号则为1**（真）。即 0∧0＝0，0∧1＝1， 1^0=1，1∧1＝0。 

解释：

异或就是把两个数拆成二进制，一位一位比较，某一位上一样返回0，不一样返回1。

一个数异或它本身得到0（因为每一位都一样全部返回0）

因此我们只需要设ans=0 然后把所有的数异或一遍。因为只有一盏灯是开的，也就是说，其他编号出现的次数都是成对的，异或完都是0，剩下的那一个与0异或得它本身。因此最后ans就是结果。

#include<bits/stdc++.h> //万能头文件
using namespace std;

int n, t;
double a; // 注意不可以用float类型
int main() {
    int ans = 0;
    cin>>n;
    while (n--) {
        cin>>a;
        cin>>t;

        for (int i = 1; i <= t; i++) {
            int x = (int)floor(a*i);
            ans ^= x;
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

题解二：暴力

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[2000001],n;
double x,y;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>x>>y;
		for(double j=1;j<=y;++j){
			if(a[int(j*x)]==0) a[int(j*x)]=1;
			else a[int(j*x)]=0;
		}
	}
	for(int i=1;;i++){
		if(a[i]==1){
			cout<<i;
			break;
		}
	}
	return 0;
}