LCA树链剖分
LCA(Lowest Common Ancestor 最近公共祖先)定义如下：在一棵树中两个节点的LCA为这两个节点所有的公共祖先中深度最大的节点。
比如这棵树
结点5和6的LCA是2,12和7的LCA是1,8和14的LCA是4。
这里讲一下用树链剖分来求LCA。
先想一下，若要求结点13和4的LCA，那很显然是4，因为他们在一条重链上。所谓的重链，就是取每个结点u的所有子节点中，子树最大的子结点v，然后将边(u,v)作为重边，其余边作为轻边，重边构成的链就是重链。子树最大就是指该点所得孩子结点最多（这里要包括他自己）。
我们先找出所有的重链。
可见这棵树有7条重链（包括一条链只有一个结点的）。每一条重链的顶点就是该链上深度最小的结点。
而树链剖分的目标就是将要求的两个点转换到一条重链上，这样LCA就是该条重链上深度较小的结点了。
具体实现步骤拿第一幅图中的结点12和14举例。首先要比较的是12和14所在链的顶点的深度，可见12所在链的顶点更深，此时将12跳到它的顶点12的父亲结点6。然后再比较6所在链的顶点和14所在链的顶点，循环下去直到两个点到同一个链上，最后比较，收尾。
这就是树链剖分的基本思想了，那我就开始写了。
首先跑两遍dfs，第一遍是建树和建链，第二遍是记录每一个结点的顶点（这样就知道该点所在链的顶点的深度了）。然后就是用上述思想求LCA。
我们以洛谷的板子为例，传送门：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3379
上代码（懒得用邻接表存图了，上vector）
其中vis数组是为了解决无向图存两次边的问题。
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cmath> 4 #include<algorithm> 5 #include<cstring> 6 #include<vector> 7 using namespace std; 8 const int maxn = 5e5 + 5; 9 vector<int>v[maxn]; 10 /*第一遍dfs主要来维护以下这些数组，size[now]指结点now的子树大小，dep[now]指结点now的深度， 11 Maxson[now]指now所在链上结点now的下一个结点（用来建链） */ 12 int vis[maxn], size[maxn], dep[maxn], fa[maxn], Maxson[maxn]; 13 void dfs1(int now) 14 { 15 vis[now] = 1; size[now]= 1; 16 for(int i = 0; i < v[now].size(); ++i) 17 if(!vis[v[now][i]]) 18 { 19 dep[v[now][i]] = dep[now] + 1; 20 fa[v[now][i]] = now; 21 dfs1(v[now][i]); 22 size[now] += size[v[now][i]]; //结点now的子树大小就是他所有孩子结点的大小之和加1（包括自己） 23 if(size[v[now][i]] > size[Maxson[now]]) Maxson[now] = v[now][i]; //选重边 24 } 25 } 26 int path[maxn]; 27 void dfs2(int now) 28 { 29 vis[now] = 1; 30 for(int i = 0; i < v[now].size(); ++i) 31 if(!vis[v[now][i]]) 32 { 33 if(Maxson[now] == v[now][i]) path[v[now][i]] = path[now]; 34 else path[v[now][i]] = v[now][i]; //新开辟一条链 35 dfs2(v[now][i]); 36 } 37 } 38 int lca(int x, int y) 39 { 40 while(path[x] != path[y]) //若不在一条链上 41 { 42 if(dep[path[x]] > dep[path[y]]) x = fa[path[x]]; 43 else y = fa[path[y]]; 44 } 45 return dep[x] < dep[y] ? x : y; 46 } 47 int main() 48 { 49 int n, m, s; scanf("%d%d%d", &n, &m, &s); 50 for(int i = 1; i < n; ++i) 51 { 52 int a, b; scanf("%d%d", &a, &b); 53 v[a].push_back(b); v[b].push_back(a); 54 } 55 dep[s] = 0; memset(vis, 0, sizeof(vis)); 56 dfs1(s); 57 path[s] = s; memset(vis, 0, sizeof(vis)); 58 dfs2(s); 59 for(int i = 1; i <= m; ++i) 60 { 61 int a, b; scanf("%d%d", &a, &b); 62 printf("%d\n", lca(a, b)); 63 } 64 return 0; 65 }
我们再来分析一下时间复杂度：任意一个结点到根的路径，每遇到一条轻边，子树大小就至少翻一倍，所以最坏情况下是O(logn)，很牛吧？
洛谷的这个毒瘤板子题，我以前用RMQ和树上倍增写都会T两个点，加快读快输开氧气勉强过了，但是很不爽。直到有一天我会了树剖后，竟然直接AC，贼激动。
那我就讲到这了。啊对了，他有一个缺点，难写（还是RMQ简单）
