快排/归并/二分

• 排序

  • 快速排序

    • 主要思想：分治
    • 排序方式：
      • 确定分界点：左边界：q[l], 中间值：q[(l+r)/2],右边界，或者随机
      • 调整区间：小于等于x的在x左半边，大于等于x的在x右半边（最难的部分）
        • 法一：
          • 开a[],b[]
          • 扫描一遍q[] ，q[i]>=x q[i]->a[]; q[i]<=x q[i]->b[];
          • a[]->q[] b[]->b[]
        • 法二（更优美）：
          • 两个指针i，j，i指向左端,j指向右端
          • i,j同时往中间走
          • 如果q[i]<x,i++,如果q[i]>x,移动j
          • 如果q[j]>x,j--,如果q[j]<x,此时交换q[i]与q[j]
          • 交换完之后，i++,j--
      • 递归处理左右两段
    • 模板：平均时间复杂度nlog2(n)

      void quick_sort(int q[], int l, int r){
      	if(l >= r) return ;
      	int x = q[(l + r) / 2], i = l - 1, j = r + 1;
      	while(i < j){
      		//do ++ i; while(q[i] < x);
      		//do -- j; while(q[j] > x);
      		while(q[++i] < x);
      		while(q[--j] > x);
      		if(i < j) swap(q[i], q[j]);
      	} 
      	quick_sort(q, l, j);
      	quick_sort(q, j + 1, r);
      	//x取q[l] ,sort(q,l,j),sort(q,j+1,r);
      	//x取q[r] ,sort(q,l,i-1);sort(q,i,r);
      	//x取q[(r+l+1)/2],sort(q,l,i-1);sort(q,i,r);
      	//x取q[(r+l)/2],sort(q,l,j),sort(q,j+1,r);
      	//总之x取右边界，sort取左指针
      	//x取左边界，sort取右指针
      }
      

  • 归并排序

    • 主要思想：分治
    • 排序方式：
      • 确定分界点：mid = （l + r）/2
      • 递归排序左右两段
      • 合并左右两段: 双指针
    • 模板：时间复杂度nlog2(n)

      void merge_sort(int q[], int l ,int r){
      	if(l >= r) return ;
      	int mid = l + r >> 1;
      	merge_sort(l, mid);
      	merge_sort(mid + 1, r);
      	int k = 1, i = l, j = mid + 1;
      	while(i <= mid && j <= r)
      		if(q[i] <= q[j]) tmp[k ++] = q[i ++];
      		else tmp[k ++] = q[j ++];
      	while(i <= mid) tmp[k ++] = q[i ++];
      	while(j <= r) tmp[k ++] = q[j ++];
      	for(int i = l, j = 1; i <= r; ++ i, ++ j)
      		 q[i] = tmp[j];
      }
      

• 二分查找

      - 可以找到满足区间与不满足区间的边界点
  

  • 整数二分

    • 模板：

      //找最小
      int binary(int l, int r){
      	while(l < r){
      		int mid = r + l >> 1;
      		if(check(mid)) r = mid;
      		else l = mid + 1;
      	}
      	return l;
      }
      //找最大
      int binary(int l , int r){
      	while(l < r){
      		int mid = r + l + 1 >> 1;
      		if(check(mid)) l = mid;
      		else r = mid - 1;
      	}
      	return l;
      }
      

  • 浮点数二分

    • 模板

      	//浮点数二分模板一：
      void binary(int x){
          double l = 0, r = 1000;
          while(r - l > 1e-9){
              double mid = (r + l) / 2;
              if(mid*mid*mid < x) l = mid;
              else r = mid; 
          }
          printf("%.6f",l);
          return ;
      }
      
      //浮点数二分模板二：
      void binary(int x){
          double l = 0, r = 1000;
          for(int i = 1; i < 100; i ++){
              double mid = (r + l) / 2;
              if(mid*mid*mid < x) l = mid;
              else r = mid; 
          }
          printf("%.6f",l);
          return ;
      }