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摘要： 第一节1-4: 略5. 说明：一般都是提出一个 $1/n$, 再观察\[   \lim_{n\to \infty} (  \frac{n}{n^2+1}  +\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots + \frac{n}{n^2+n^2}  )  =\lim_{n\to \infty}  ( 阅读全文

摘要： 三角函数相关类型1. 利用三角变化以及三角恒等式，比如 $\sin^2 x + \cos^2 x=1$ 以及二倍角公式，和差化积，积化和差。比如: 4-1 的 1-(5), 令 $1=\sin^2 x+ \cos^2 x$ 即可; 4-1 的 1-(6), 二倍角公式 4-1 的 1-(7), 二倍 阅读全文

摘要： 2. \[\begin{aligned} \int_0^{2 \pi} | \sin x-\cos x | dx = \int_0^{\pi/4} (\cos x -\sin x) dx + \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x -\cos x) dx +\int_{5\pi/ 阅读全文

摘要： 1. (1) 联解两个曲线方程得到交点为 $(0,0)$, $(1,e)$, 因此围成的面积\[ A= \int_0 ^1 (x e -xe^x ) dx= \frac{e}{2} x^2 \bigg|_0^1 - x e^x \bigg|_{0}^1 +\int_0^1 e^x dx =... 阅读全文

摘要： 1. (1) 0 (2) 0(奇偶性以及周期性)2.(1) 因为 $x>x^2$, $x\in(0,1)$, 所以 $e^x > e^{x^2}$, 因此\[ \int_0^1 e^x dx > \int_0^1 e^{x^2} dx.\](2)\[ \int_0^{2\pi} x\sin... 阅读全文

摘要： 1. (1)\[ \mbox{原式}= 2 + \int_{-1}^1 2x \sqrt{1-x^2} dx= 2- (1-x^2)^{3/2}\bigg|_{-1}^{1}=2.\](第二个积分根本不需要算，注意到它时对称区间以及奇函数) (2)\[ \int_{\frac{1}{\sqrt 2} 阅读全文

摘要： 1. (1) $$2 x \sqrt{1+x^4}$$ (2) $$-3 x^2 \frac{1}{\sqrt{1+x^6}}$$ (3) \[ -e^{\cos^2 x} \sin x - e^{\sin^2 x} \cos x\] (4) \[ \left( \int_0^x (x-t)f(t) 阅读全文

摘要： (1)\[\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2+2x-3}dx= \int \frac{x-1+1}{(x+3)(x-1)}dx= \int \frac{1}{x+3} + \frac14 \frac{4}{(x+3)(x-1)} dx\\=\int \frac{1}{ 阅读全文

摘要： 2.(1) 化为函数极限，再利用数列极限与函数极限的关系。\[\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty} (x \tan \frac 1x)^{x^2} &= \lim_{t\to 0} \exp \frac{ \ln \frac{\tan t}{t} }{t^2} \\ 阅读全文

摘要： 1. 填空题 (1) $\frac{2}{3}$(2) $[1,e]$(3) $\ln 2$ 2. 选择题:(1) (D) 课件上例题，不是无穷大的原因是，当 $x\to +\infty$, $x\cos x$ 有可能取零, 比如令 $x=n\pi +\frac\pi 2$. (2) (C) 原因是 阅读全文