【梳理】曲线积分与曲面积分

【梳理】曲线积分与曲面积分

第一类曲线积分

对于有一定质量分布的一段弧求解质量：

\[\int_C \rho(x, y, z) \text ds \]

对于弧长微分：

\[\text ds = \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)} \text dt \]

所以第一类曲线积分可以转化为一元定积分

\[\int_\alpha^\beta \rho(x(t), y(t), z(t))\sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)} \text dt \]

第二类曲线积分

定义

物理背景是变力在一段曲线上做的功，此时曲线带方向

定义向量值函数\(\textbf F\)在有向曲线\(L\)上的第二类曲线积分为

\[\int_L \textbf F \text d \textbf s = \int_L \textbf F \cdot \textbf e _T \text d s \]

计算上，假设\(L\)的参数方程为：

\[r(t) = (x(t), y(t)) \]

单位切向量就是：

\[\textbf e_t = \frac{1}{\sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)}}(x'(t), y'(t)) \]

而

\[\textbf F = (P(x, y), Q(x, y)) \]

代回到原始式子中即可

等价形式

单位切向量可以认为是：

\[\textbf e_T = (\cos \alpha, \cos\beta) \]

所以

\[\int_L \textbf F \cdot \textbf e_T \text ds = \int_L(P\cos\alpha+ Q\cos\beta)\text ds \]

并且弧长微分与\(\text dx\)和\(\text dy\)有关系

\[\frac{\text dx}{\text ds} = \cos\alpha \\ \frac{\text dy}{\text ds} = \cos\beta \]

上式又可以写成

\[\int_L P\text dx + Q\text dy \]

通过这个式子，可以转化成参数方程，变成一元定积分

第一类曲面积分

背景是具有一定面密度的曲面的质量

对于光滑曲面\(S\)，方程为

\[z = z(x, y)\quad (x, y)\in D \]

第一类曲面积分为

\[\iint_S f(x, y, z)\text dS = \iint_D f(x, y, z(x, y))\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \text dx \text dy \]

特别地

\[\iint_S \text dS \]

即为曲面的面积

第二类曲面积分

定义

首先需要对于曲面定向

对于同一个曲面，有两种法向量：

\[\textbf n = \pm (-z_x. -z_y, 1) \]

取正负号分别可以得到指向上侧和下侧的向量，需要根据题目要求区分

第二类曲面积分的背景是光滑曲面内单位时间流体通过曲面的流量

\[\iint \textbf f \cdot \text d\textbf S = \iint_S \textbf f \cdot \textbf e_n \text dS \]

等价形式

与第二类曲线积分类似，可以导向方向余弦和直角坐标，注意直角坐标对应的是有向面积元

\[\iint_S(P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)\text dS \]

\[\iint P\text dy\text dx + Q\text dz \text dx + R\text dx \text dy \]

计算

法向量可得

\[\textbf n = \pm (-z_x, -z_y, 1) \]

映射到平面上后有\(\text r = \text r(u, v)\)

同时也是

\[\textbf n = \pm \frac{\textbf r_u \times \textbf r_v}{||\textbf r_u \times \textbf r_v||} \]

并且

\[\text dS = ||\textbf r_u \times \textbf r_v||\text du\text dv \]

代入原式之后

\[\iint_S \textbf f\cdot \textbf n \text dS = \pm \iint_D \textbf F\circ \textbf r(u, v)\cdot (\textbf r_u \times \textbf r_v)\text du\text dv \]

正负号取决于题目要求

Green公式

\[\int_C P\text dx + Q\text dy = \iint_D \left | \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ P & Q \end{matrix} \right | \]

通过格林公式可以得到：

\[\begin{align} \frac 1 2 \oint_\Gamma x\text dy - y\text dx &= \frac 1 2 \iint_D \left | \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y} \\ -y & x \end{matrix} \right | \text dx\text dy \\ &= \frac 1 2 \iint_D 2\text dx\text dy\\ &= \iint_D \text dx \text dy \\ &= S(D) \end{align} \]

其中\(D\)由\(\Gamma\)围成

保守场与势函数

保守场上，对于曲线积分与路径无关

在这个逻辑下，可以做两件事：

• 判断保守场，明确可以化成恰当微分的形式
• 化成恰当微分，变成末状态减去初状态

保守场的判别有以下等价命题：

1. \(\int_C \textbf F\text dp = \int_C P\text dx + Q\text dy + R \text dz = 0\)对于任意区域内任意闭曲线\(C\)成立

2. \(\textbf F\)曲线积分与路径无关

3. \(\textbf F\)为保守场，即存在函数\(u\)使得\(\nabla u = \textbf F\)

另外，对于二元函数\(\textbf F = (P, Q)\)有一个更简单的判别方式

\[\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} \]

接下来的问题就是求解势函数，有以下做法：

• 按照\(x,y,z\)的顺序按路径积分
• 待定函数

二元函数下，由于前面的判别式，有

\[u_x = P \]

则

\[u = \int P\text dx + \phi(y) \]

从而

\[u_y = \frac{\partial}{\partial y}\int P\text dx + \phi'(y) = Q \]

就可以求解\(\phi(y)\)并得到\(Q\)了

散度Gauss公式

散度

定义为

\[\text{div} \textbf F = \nabla \cdot \textbf F \]

从而Laplace算子即为

\[\Delta \textbf F = \text{div}(\nabla \textbf F) \]

Gauss公式

\[\iiint_\Omega \text{div} \textbf F \text dx\text dy\text dz = \oiint_{\partial\Omega} \textbf F\cdot \textbf n \text ds \]

其中

\[\textbf n = (\cos \alpha, \cos\beta, \cos\gamma) \]

为\(\partial \Omega\)的单位外法向量

Gauss公式与Green公式相同，都是关于散度的公式，同时也能通过Gauss定理推出几何体体积

\[V(\Omega) = \frac 1 3 \oiint_\Sigma x\text dy\text dz + y\text dz \text dx + z\text dx \text dy \]

利用Gauss公式，可以推出Green第一公式

\[\iint_{\partial \Omega}v\frac{\partial u}{\partial \textbf n}\text ds = \iiint_\Omega \nabla v \cdot \nabla u \text dx \text dy \text dz + \iiint_{\Omega} v\Delta u \text dx \text dy \text dz \]

旋度与Stokes公式

Stokes公式

Stokes公式是格林公式的推广

\[\int_{\partial \Sigma}P\text dx + Q\text dy + R\text dz = \iint_\Sigma \left | \begin{matrix} \cos\alpha& \cos\beta& \cos\gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P& Q& R \end{matrix} \right | \text ds \]

旋度

\[\text{rot}\textbf F = \nabla \times \textbf F = \left | \begin{matrix} \textbf i& \textbf j & \textbf k \\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z} \\ P& Q& R \end{matrix} \right | \]

从而Stokes公式可以表示为

\[\iint_{S}(\nabla \times \textbf F)\cdot n\text dS = \oint_{\partial S}\textbf F \cdot \textbf e_{T} \text ds \]

散度和旋度可以合起来看：

• 对于数值函数作用散度/旋度

\[\nabla \cdot (\phi \textbf F) = \phi\nabla \cdot \textbf F + \textbf F \cdot \nabla \phi \\ \nabla \times(\phi\textbf F) = \nabla \phi\times \textbf F + \phi\nabla \times \textbf F \]