【梳理】微分方程解法

【梳理】微分方程解法

变量可分离方程

形如

\[\frac{dy}{dx} = f(x)\phi(y) \]

1. 若\(\phi(y) \neq 0\)，则

\[\frac{\text dy}{\phi(y)} = f(x)\text d x \]

从而

\[\int \frac{\text dy}{\phi(y)} = \int f(x)\text d x \]

2. 若有\(y_0\)使得\(\phi(y_0) = 0\)，则有解

\[y = y_0 \]

齐次方程

形如

\[\frac{\text d y}{\text d x} = f(x, y) = \phi(\frac y x) \]

令\(\frac y x = u\)则\(y = ux\)，从而

\[\frac{\text d y}{\text d x} = u + x\frac{\text d u}{\text d x} \]

于是产生了变量可分离方程

\[x\frac{\text d u}{\text d x} = \phi(u) - u \]

后续可套用变量可分离方程解法

一阶线性方程

形式与思路

\[\frac{\text d y}{\text d x} + p(x)y = Q(x) \]

思路就是先求解齐次方程得到一个解：

\[y = C e^{-\int p(x)\text dx} \]

接着把常数变易为函数，再带回原方程求解

\[y = e^{-\int p(x)\text dx}[\int Q(x)e^{\int p(x)\text dx} + \hat C] \]

可化为一阶线性方程的方程

• Bernoulli方程

\[\frac{\text d y}{\text d x} + p(x)y = Q(x)y^n \]

等式两边乘\(y^{-n}\)再放进微分

\[\frac{1}{1 - n}\frac{\text d y^{1 - n}}{\text d x} + p(x)y^{1 - n} = Q(x) \]

从而对于\(z = y^{1 - n}\)是一阶线性方程

• Riccati方程

\[\frac{\text dy}{\text dx} = p(x)y^2 + Q(x)y + R(x) \]

假设已知一个解\(\phi(x)\)

令\(y = \phi(x) + u(x)\)为方程解，代入方程，最后可以化为

\[\frac{\text du}{\text dx} = [2p(x)\phi(x) + Q(x)]u + p(x)u^2 \]

是Bernoulli方程

可降阶的高阶方程

高阶导数

\[y^{(n)} = f(x) \]

事实上直接积分n次就可以得到y

含一二阶导数

\[y'' = f(x, y') \]

令\(y' = p\)

可得

\[\frac{\text dp}{\text dx} = f(x, p) \]

若该一阶方程通解为\(p = \phi(x, C)\)，则

\[\frac{\text dy}{\text dx} = p = \phi(x, C) \]

从而

\[y = \int \phi(x, C)\text dx + C' \]

不显含自变量

\[y'' = f(y, y') \]

令\(y' = p(y) = \frac{\text dy}{\text dx}\)，则

\[y'' = p\frac{\text dp}{\text dy} = f(y, p) \]

这是个一阶方程

二阶微分方程

基本思路

\[y'' + P(x)y' + Q(x) = f(x) \]

• 求\(y'' + P(x)y' + Q(x) = 0\)的通解
• 求\(y'' + P(x)y' + Q(x) = f(x)\)的特解

假设通解为

\[\bar y = C_1y_1 + C_2y_2 \]

利用常数变易法，分别设置\(C_1(x)，C_2(x)\)带回原方程

二阶常系数齐次方程

通过特征根迅速得到通解

• 特征根互异

  • \(\lambda_1 \neq \lambda_2\)为实数，\(y = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x}\)
  • \(\lambda = \alpha\pm\beta i\)，\(y = e^{\alpha x}(C_1\sin\beta x + C_2\cos\beta x)\)

• 特征根相等

通解为\(y = e^{\lambda x}(C_1 + C_2 x)\)

n阶常系数线性齐次方程

• k重实根对应k个特解\(\{x_{t}e^{\lambda_i x}\}|_0^{k-1}\)

• k重共轭特征根对应\(\{x^{t}e^{\alpha_i x}\cos\beta_i x\}|_0^{k-1}\)和\(\{x^{t}e^{\alpha_i x}\sin\beta_i x\}|_0^{k-1}\)

二阶常系数非齐次方程

主要思路是比对系数

• \(f(x) = e^{\lambda x}P_m(x)\)

其中\(P_m(x)\)为关于\(x\)的\(m\)次多项式

假设\(y = e^{\lambda x}Q(x)\)为方程的一个解

代入方程待定系数即可，最后会得到结论，特解为：

\[y = x^k e^{\lambda x}Q_m(x) \]

其中\(k\)为\(\lambda\)作为特征根的重数

• \(f(x) = e^{\lambda x}[P_m(x)\cos \omega x + Q_m(x)\sin\omega x]\)

按照相同的流程，可以得到特解：

\[y = x^{k} e^{\lambda x}[T_m(x)\cos\omega x + G_m(x)\sin\omega x] \]

其中\(\lambda + i\omega\)若为特征根，则\(k = 1\)，否则\(k = 0\)