【梳理】离散数学

第一章-第三章 数理逻辑

极小项/极大项表【对应二进制位取值得到整项取值为1/0】

值 极小项 极大项
000 \(\neg p \and \neg q \and \neg r\) \(p \or q \or r\)
001 \(\neg p \and \neg q \and r\) \(p \or q \or \neg r\)
010 \(\neg p \and q \and \neg r\) \(p \or \neg q \or r\)
011 \(\neg p \and q \and r\) \(p \or \neg q \or \neg r\)
100 \(p \and \neg q \and \neg r\) \(\neg p \or q \or r\)
101 \(p \and \neg q \and r\) \(\neg p \or q \or \neg r\)
110 \(p \and q \and \neg r\) \(\neg p \or \neg q \or r\)
111 \(p \and q \and r\) \(\neg p \or \neg q \or \neg r\)

后继集与自然数

对于一个集合\(A\),其后继集为\(A^+ = A \cup \{A\}\)

对于自然数则可如下定义：

  • \(0 = \empty\)
  • \(n^+ = n \cup\{n\},\quad \forall n\in \mathbb{N}\)

第四章 关系

关系概述

定义4.1.1.有序对

定义4.1.2.有序n元组

定义4.1.3.笛卡儿积

定理4.4.1.笛卡儿积运算

\[A\times (B\cap C) = (A\times B) \cap (A\times C) \]

\[A\times (B\cup C) = (A\times B) \cup (A\times C) \]

\[(A\cap B)\times C = (A\times C) \cap(B\times C) \]

\[(A\cup B)\times C = (A\times C) \cup(B\times C) \]

定义4.1.4.n个集合的笛卡儿积

定义4.1.5.关系：有序对集合\(R\)，若两元素有\(R\)关系则记为\(aRb\)

定义4.1.6.关系类型

A到B的二元关系/A上的二元关系

空关系（\(\empty\)）、全域关系（\(A\times B\)），恒等关系（\(I_A\)）

对于\(|A|=m,\ |B|=n\)，关系个数有\(2^{mn}\)

定义4.1.7.定义域（domR），值域（ranR）

定义4.1.8.n元关系

可形成二维表，每一行为元组，即n元组

关系的表示法与运算

集合表示法

关系图表示法

矩阵表示法

关系运算：集合运算

定义4.3.1.逆关系

\[R^{-1} = \{(x, y)|yRx\} \]

具有以下性质：

\[(R^{-1})^{-1} = R \]

\[(R\cap S)^{-1} = R^{-1}\cap S^{-1} \]

\[(R\cup S)^{-1} = R^{-1}\cup S^{-1} \]

\[(\sim R)^{-1} = \sim(R^{-1}) \]

\[(R-S)^{-1} = R^{-1} - S^{-1} \]

\[R\subseteq S\Leftrightarrow R^{-1} \subseteq S^{-1} \]

定义4.3.2.关系的复合运算

\[S\circ R = \{(x, z) | x\in A\and z\in C \and \exist y(y\in B\and (x, y)\in R\and(y, z)\in S)\} \]

注意是先R再S，是左结合的

定理4.3.2.复合运算满足结合律

定理4.3.3.运算性质

\[(S\cap P)\circ R \subseteq (S\circ R) \cap(P\circ R) \]

\[R\circ(S\cap P) \subseteq (R\circ S) \cap (R \circ P) \]

\[(S\cup P) \circ R= (S\circ R)\cup (P\circ R) \]

\[R\circ(S\cup P)= (R\circ S)\cup(R\circ P) \]

定理4.3.4.

\[(S\circ R)^{-1} = R^{-1} \circ S^{-1} \]

定理4.3.5.

\[R\circ I_A = I_A\circ R = R \]

定义4.3.3.关系的幂

  1. \(R^0 = I_A\)
  2. \(R^n = R_{n-1}\circ R,\ n\geq 1\)

定理4.3.6.

  1. \(R^m \circ R^n = R^{m + n}\)
  2. \((R^m)^n = R^{mn}\)

定理4.3.7.\(R\)为\(A\)上的关系，\(|A|=n\)，则存在自然数\(s, t\)，使得

  1. \(R^s = R^t,\ 0\leq s < t \leq 2^{n^2}\)
  2. \(\forall k\in \mathbb{N}\quad R^{s + k} = R^{t + k}\)

鸽巢原理可以说明1.

关系矩阵乘法（等效于关系复合）

\[M_{ij} = \bigvee_{k = 1}^n(R_{ik}\and S_{kj}) \]

关系的性质与闭包

定义4.4.1.自反关系：每个元素都有自环

定义4.4.2.反自反关系：每个元素都没有自环

定义4.4.3.对称关系：整张图都是无向边

定义4.4.4.反对称关系：整张图都是有向边（允许自环）

定义4.4.5.传递关系：只要能间接到达，就一定能够直接到达

e.g.若\(R\)是传递关系，则\(R^2\)也是传递关系。

如果按照“到达”的观点来看，若\(x\rightarrow y\)需要两步，\(y\rightarrow z\)需要两步，那按照原图来看\(x\rightarrow z\)的边是一定存在的。

定理4.4.1.设\(R\)是集合\(A\)上的关系，则

  1. R自反\(\Leftrightarrow I_A\subseteq R\)
  2. R反自反\(\Leftrightarrow R\cap I_A = \empty\)
  3. R对称\(\Leftrightarrow R = R^{-1}\)
  4. R反对称\(\Leftrightarrow R\cap R^{-1} \subseteq I_A\)
  5. R传递\(\Leftrightarrow R\circ R \subseteq R\)

定理4.4.2.

R,S \(R^{-1}\) \(S^{-1}\) \(R\cup S\) \(R\cap S\) \(R\circ S\) \(R-S\)
自反 √ √ √ √ √
反自反 √ √ √ √ √
对称 √ √ √ √ √
反对称 √ √ √ √
传递 √ √ √

定义4.5.1.闭包：加入最少的元素使得关系满足自反、对称、传递

定理4.5.1.自反、对称、传递当且仅当闭包等于自身

定理4.5.2.

  1. \(r(R) = R\cup I_A\)
  2. \(s(R) = R\cap R^{-1}\)
  3. \(t(R) = \bigcup_{i = 1}^{\infty}R^i\)

事实上，传递闭包只要\(n\)次复合即可，然后就可以用Warshall求了

定理4.5.3.对于\(R_1\subseteq R_2\)有

  1. \(r(R_1)\subseteq r(R_2)\)
  2. \(s(R_1)\subseteq s(R_2)\)
  3. \(t(R_1)\subseteq t(R_2)\)

定理4.5.4.

  1. \(r(R_1)\cup r(R_2) = r(R_1\cup R_2)\)
  2. \(s(R_1)\cup s(R_2) = s(R_1\cup R_2)\)
  3. \(t(R_1)\cup t(R_2)\subseteq t(R_1\cup R_2)\)

定理4.5.6.\(tsr(R)\)为自反、传递、对称闭包

等价关系和等价类

定义4.6.1.等价关系：自反、传递、对称，满足等价关系的元素记为\(x\sim y\)

定义4.6.2.等价类

\[[x]_R = \{ y | y\in A \and xRy \} \]

定理4.6.1.等价类性质

  1. \(\forall x \in A, [x]_R \neq \empty \and [x]_R\subseteq A\)
  2. \(\forall x, y\in A\)，若\((x, y)\in R\)，则\([x]_R = [y]_R\)
  3. \(\forall x, y\in A\)，若\((x, y)\notin R\)，则\([x]_R\cap[y]_R = \empty\)
  4. \(\bigcup_{x\in A} [x]_R = A\)

定义4.6.3.商集

\[A/R = \{ [x]_R | x\in A \} \]

定义4.6.4.覆盖与划分

对于\(A\)的一簇子集\(\{A_i\}\)

  1. \(A_i \neq \empty\)
  2. \(\bigcup_{i = 1}^m A_i = A\)
  3. \(A_i\cap A_j = \empty,\ (i\neq j)\)

满足1.2.为覆盖，满足1.2.3.为划分

偏序关系

定义4.7.1.偏序关系：自反性、反对称性、传递性。满足偏序关系记为\(a\preceq b\)，偏序集记为\((A, \preceq)\)

定义4.7.2.可比/不可比（是否有对应关系），覆盖（无中间元素的偏序）

哈斯图：由低到高体现覆盖关系

定义4.7.3.全序关系：任意元素均可比，全序集（线序集）

定义4.7.4.对于偏序集的子集

  • 极大/极小元：不存在更大/更小的元素
  • 最大/最小元：大于/小于所有元素

定义4.7.5.

  • 上界/下界
  • 上确界/下确界

定义4.7.6.良序集：所有子集都存在最小元

第五章 函数

函数概念

定义5.2.1. 特殊映射

  1. 单射：\(\forall x_1,x_2\in A,\ x_1 \neq x_2,\ f(x_1) \neq f(x_2)\)（有时也会使用逆否命题）
  2. 满射：\(\forall y\in B\)，都有\(x\in A\)，使得\(f(x) = y\)
  3. 双射（一一映射）：单射+满射

定义5.2.2.常函数、恒等函数、特征函数、自然映射、取整函数

复合函数

定理5.3.2.复合函数满足结合律

定理5.3.3.&5.3.4

  1. \(f\)和\(g\)均为单射、满射、双射，则\(g\circ f\)均为单射、满射、双射
  2. 若\(g\circ f\)满射，则\(g\)满射
  3. 若\(g\circ f\)单射，则\(f\)单射
  4. 若\(g\circ f\)双射，则结合1.2.即可

集合的基数

定义5.5.1.集合等势：存在集合间双射，记为\(A\sim B\)

定义5.5.2.集合基数比较：存在\(A\)到\(B\)的单射，则\(|A| \leq |B|\)，若还不等于则\(|A| < |B|\)

定义5.5.3.有限基数集合（有限集合）：基数为自然数

定义5.5.4.可数集合（可列集合）：与自然数等势的集合，基数是\(\aleph_0\)

定理5.5.1.有限集合不与它的任何真子集等势，因而集合是无限集合当且仅当它与某个真子集等势

定理5.5.2.集合\(S\)可列\(\Leftrightarrow\)它的全体元素可以排列成无穷序列的形式

定理5.5.3.任意一个无限集合必含有可数子集

定理5.5.4.可数集的任意无限子集是可数集

定理5.5.5.可数个可数集的并集是可数集

定理5.5.6.任意正整数对\((m, n)\)构成的集合\(\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+\)是可数集（对角线取元素）

定理5.5.7&5.5.8开区间\((0, 1)\)以及实数集\(\mathbb{R}\)是不可列的

定理5.5.9.\(|M| < |P(M)|\)

第八章 图

基本概念

定义8.1.1.&8.1.2.有向图、无向图

定义8.1.3.平行边、邻接、环、孤立点

定义8.1.4.n阶图、零图（无边）、平凡图（一阶零图）、空图

定义8.1.6&8.1.7度、出/入度、最大/小度

定义8.1.8.悬挂结点（度数为1）、悬挂边

定理8.1.1.

\[\sum_{i = 1}^n d(v_i) = 2e \]

推论：任何图中，奇数度数的结点个数为偶数

定理8.1.2.有向图中，

\[\sum_{i = 1}^nd^-(v_i) = \sum_{i = 1}^nd^{+}(v_i) = e \]

extra.度数序列、可图化

判断是否可简单图化：

  • 总度数是否为偶数
  • 奇数度数结点个数是否为偶数
  • 是否有不合常理的结点（超过可能最大度、无法满足大度数）

定义8.1.9.简单图（无平行边、无环）

定义8.1.10.多重图（含有平行边）

定义8.1.11.完全图\(K_n\)（任意结点都与所有结点相邻）

定理8.1.3.对于任意\(n\)阶无向简单图，\(\Delta(G) \leq n - 1\)

定理8.1.4.\(d = (d_1, d_2, ..., d_n)\)可简单图化\(\Leftrightarrow d' = (d_2-1, d_3-1, ..., d_n-1)\)可简单图化（\(d_1\)为最大值）

定义8.1.12.\(k-\)正则图

定义8.1.13.&8.1.14.环图、轮图

定义8.1.15.\(n\)方体图（二进制下每个位有且仅有一位不同则连边）

定义8.1.16.&8.1.17.二分图、完全二分图（\(K_{m, n}\)）

定义8.1.18.带权图

定义8.1.19.&8.1.20子图、母图、真子图、生成子图（边集为子集）、导出子图（部分点、边对应的整个图）

定义8.1.21.补图

定义8.1.22.图同构（存在点集双射），记为\(G \cong G'\)

通路、回路、连通

定义8.2.1.通路、回路、简单通路（迹）/回路（闭迹）【边不重】、基本（初级）通路（路径）/回路（圈）【边、点均不重】

奇/偶回路：回路长度为奇/偶数

定理8.2.1.在\(n\)阶图\(G\)中，若从结点\(u\)到\(v\)存在通路，则从\(u\)到\(v\)存在长度小于等于\(n-1\)的通路

推论：同样条件下一定存在小于等于\(n-1\)的基本通路

定理8.2.2.在\(n\)阶图G中，若从结点\(u\)到自身存在回路，则回路长度小于等于\(n-1\)

推论：同样条件下一定存在长度小于等于\(n - 1\)的基本回路

定义8.2.2.短程线/距离

定义8.2.3.连通图：任意两点间存在通路

定理8.2.3.对于\(G=(V, E)\)有\(n\)个点，\(e\)条边，\(w\)个连通分支，则\(n - w \leq e\)

定义8.2.4.点割集、割点、边割集、割边（桥）

定义8.2.5.可达/不可达/相互可达

定义8.2.6.三种有向连通图

  • 单向连通：任意两点至少单向可达
  • 强连通：任意两点相互可达
  • 弱连通：略去有向边方向后无向图连通

定理8.2.4.有向图强连通\(\Leftrightarrow\)图中存在经过每个结点的回路

图的表示

邻接表

邻接矩阵

定理8.3.1.邻接矩阵可通过计算得到长度为\(x\)的有向路、回路数目

推论：若\(B_l = A + A^2 + ... + A_l\)，则

\[b_{ij}^{(l)} = \sum_{k = 1}^la_{ij}^{(k)} \]

可达矩阵

关联矩阵：

  • 对于有向图

\[m_{ij} = \begin{cases} 1,\quad v_i是e_j起点 \\ -1,\quad v_i是e_j终点 \\ 0,\quad 不关联 \end{cases} \]

  • 对于无向图

\[m_{ij} = \begin{cases} 1,\quad v_i与e_j关联 \\ 2,\quad 自环 \\ 0,\quad 不关联 \end{cases} \]

第九章 特殊图

欧拉图和哈密顿图

定义9.1.1.欧拉回路➡欧拉图、欧拉通路➡半欧拉图（包含所有边）

定理9.1.1.无向连通图是欧拉图\(\Leftrightarrow\)G的所有结点度数都为偶数

定理9.1.2.无向连通图是半欧拉图\(\Leftrightarrow\)\(G\)仅有两个奇度数结点

定义9.1.2.欧拉有向回路➡欧拉有向图、欧拉有向通路➡半欧拉有向图

定理9.1.3.有向连通图是欧拉图\(\Leftrightarrow\)每个结点出度等于入度

定理9.1.4.有向连通图是半欧拉图\(\Leftrightarrow\)有且仅有两个奇度数结点，其中一个入度比出度大\(1\)，另一个入度比出度小\(1\)

定理9.1.5.设连通无向图\(G\)有\(k\)个度数为奇数的结点，则\(G\)的边集可以划分成\(\frac{k}{2}\)条简单通路，而不可能划分成更少的简单通路

定义9.1.3.哈密顿回路➡哈密顿图、哈密顿通路➡半哈密顿图（包含所有点一次且仅一次）

定理9.1.6.【必要条件】设无向图\(G = (V, E)\)，是哈密顿图，则对于结点集\(V\)的每一个真子集\(S\)均有\(W(G - S) \leq |S|\)

定理9.1.7.【充分条件】对于\(n\)个结点的简单无向图\(G\)，对于每一对不邻接结点\(u, v\)，满足\(d(u) + d(v) \geq n - 1\)，则\(G\)是半哈密顿图

推论1：\(n\)结点简单无向图\(G\)若每一对不邻接结点均有\(d(u) + d(v) \geq n\)，则\(G\)是哈密顿图

推论2：在上一推论基础上，若任意\(v_i\)有\(d(v_i) \geq \frac n 2\)则\(G\)是哈密顿图

带权图

旅行商问题：求带权完全图中总权值最小的哈密顿回路。暴力算法需要计算\(\frac{(n-1)!}{2}\)条回路权值。

（单源）最短路径问题：\(dijkstra\)算法

  • 初始化标记值，起始结点为\(0\)，其余均为\(\infty\)，令\(S = \{u\}\)，\(T\)为剩余结点集合
  • 修改\(T\)中与\(u\)相邻的结点\(v_i\)的标记值，\(L(v_i) = L(u) + w_i\)
  • 将\(T\)中标记值最小的结点移出加入\(S\)，记为\(s\)
  • 修改\(T\)中与\(s\)相邻的结点\(v_i\)的标记值\(L(v_i) = \min\{ L(v_i), L(s) + W(s, v_i) \}\)
  • 重复前两个步骤直到需要求的点进入\(S\)

中国邮路问题：添加一定的平行边使得图变成欧拉图，并且总权值最小

定理9.2.1.对于一张带权图\(G\)，是附加边自己\(E_1\)的各条边权值和\(W(E_1)\)最小的充要条件是\(G+E_1\)中任意边之多重复一次，且\(G+E_1\)中任意回路中的重复边的权值之和不大于各条边权值和的一半

以下是依照定理的解法：

  • 找到所有奇数度结点，两两配对，在它们的最短路径上加边
  • 对于所有重边，将关联两点的边数逐步减\(2\)，直到剩余\(1\)或\(2\)条边
  • 检查每一个回路，若重边权值和大于回路每条边权值的一半，令重边为回路中其他边

事实上，做题的时候可以观察如何配对是最优解，并且可以找到最优路径，这样就不太需要调整了

匹配与二分图

定义9.3.1.

  • 匹配：\(M\subseteq E\)，\(M\)中任意两边不相邻，则\(M\)为\(G\)的匹配
  • 极大匹配：加入任何边都会使得\(M\cup\{e\}\)有相邻边
  • 最大匹配：不存在\(|M_1| > M\)，则\(M\)为最大匹配
  • 匹配数：最大匹配的边数

定义9.3.2.饱和点、非饱和点、完美匹配

定义9.3.3.

  • 匹配边、非匹配边
  • 交错路：匹配边与非匹配边交替
  • 可扩充路/可增广路：起终点为非饱和点的交错路

定理9.3.1.\(M\)是最大匹配\(\Leftrightarrow\)\(G\)中不存在\(M\)可扩充路

定义9.3.4.二分图、互补结点集、完全二分图

定理9.3.3.二分图\(\Leftrightarrow\)\(G\)中无奇数长度的回路

定义9.3.5.

  • 完备匹配：\(|M| = \min\{ |V_1|, |V_2| \}\)
  • 完美匹配：\(|V_1| = |V_2|\)的完备匹配

定理9.3.4.【Hall定理（相异性条件）】存在完备匹配\(\Leftrightarrow\)\(V_1\)中的任意\(k\)个结点至少邻接\(V_2\)的\(k\)个结点

定理9.3.5.（\(t\)条件）如果存在正整数\(t\)，使得：

  1. \(V_1\)中每个结点至少关联\(t\)条边
  2. \(V_2\)中每个结点至多关联\(t\)条边

则\(G\)中存在\(V_1\)到\(V_2\)的完备匹配

平面图

定义9.4.1.可平面图（平面图）、平面嵌入

定义9.4.2.

  • 无限面/外部面：面积无限的区域，记为\(f_0\)

  • 有限面/内部面：面积有限的区域

  • 边界：包含每个面的所有边构成的回路

  • 次数：一个面的边界包含的边数

定理9.4.1.

\[\sum_{i = 0}^l\deg(f_i) = 2e \]

定义9.4.3.极大平面图：加入任意边都不再是平面图

定义9.4.4.极小非平面图：删去任意边都可得平面图（\(K_5\)和\(K_{3, 3}\)为典例）

定理9.4.2.【欧拉公式】

\[n - e + f = 2 \]

推论1：对于一张简单连通平面图（\(n\geq 3\)）

\[e \leq 3n - 6 \]

证明：

\(n = 3\)时，\(3\)个结点的简单连通平面图的边数为\(3\)，自然成立

\(n > 3\)时，由于\(G\)的每个面至少由\(3\)条边围成（这是自然的），则

\[\deg(f_i) \geq 3 \]

而

\[\sum \deg(f_i) = 2e \]

可得

\[2e \leq 3f \]

带入欧拉公式即可\(\square\)

推论2：如果平面图每个面至少由\(r\)条边围成，则

\[e \leq \frac{r}{r-2}(n - 2) \]

这条推论说明平面图的稀疏性，边数规模是\(O(n)\)

证明：

由题设

\[\deg (f_i) \geq r \]

因而

\[\sum \deg(f_i) \geq rf \]

又由于面的“握手定理”

\[2e \geq rf \]

再代入欧拉公式

\[f = 2 - n + e \]

整理可得

\[e \leq \frac{r}{r - 2}(n - 2) \]

\(\square\)

推论3：\(K_5\)和\(K_{3, 3}\)都不是平面图

定理9.4.3.简单连通平面图中，至少存在一个结点\(v\)使得\(d(v) \leq 5\)

定理9.4.4.任意平面图，设有\(k\)个连通分支，则

\[n - e + f = k + 1 \]

定义9.4.5.插入/删去2度结点

定义9.4.6.同胚：两个图通过反复插入/删除2度结点后是同构的

定理9.4.5.【库拉托斯基定理】无向图\(G\)是平面图\(\Leftrightarrow\)图\(G\)不含与\(K_5\)和\(K_{3, 3}\)同胚的子图

定义9.4.7.对偶图：图\(G\)中的每个面中指定一个新结点，对两个面公共的边指定一条新边与其相交。由这些新的点和边组成的图成为\(G\)的对偶图\(G^*\)

定理9.4.6.一张图与其对偶图的数量关系

\[n^* = f,\ e^* = e,\ f^* = n \]

定义9.4.8.&9.4.9.面着色、k-可着色（点）、色数、k色图

定理9.4.7.对于任意的无环图\(G\)，\(G\)的色数为\(k\)则\(k \leq \Delta(G) + 1\)

定理9.4.8.【Brooks定理】对于无环图\(G\)，\(G\)的色数为\(k\)，若\(G\)不是完全图，也不是长度为\(k\)的基本回路，则\(k \leq \Delta(G)\)

定理9.4.9.【四色定理】

定理9.4.10.用5种颜色可以给任意简单连通平面图着色

定义9.4.10.边着色、k-可边着色、边色数

定理9.4.11.

  1. 简单图\(G\)的边色数为\(\Delta(G)\)或\(\Delta(G) + 1\)
  2. 二分图\(G\)的边色数为\(\Delta(G)\)

第十章 树

定义10.1.1.无向树、树枝、树叶、分支点（内点）、平凡树

定义10.1.2.森林

定理10.1.1.一棵无向树\(T\)的等价命题

  1. \(T\)是无回路的连通图
  2. \(T\)是连通的且\(e = n - 1\)
  3. \(T\)中无回路且\(e = n - 1\)
  4. 在\(T\)的每一对结点之间有唯一的一条简单路
  5. \(T\)中无回路，但在任意两个结点间增加一条边，可以得到一条且仅一条回路

定理10.1.2.至少有2个结点的一棵树中至少有两片树叶

定义10.2.1.生成树、树枝、弦、余树

定理10.2.1.图\(G\)中有生成树\(\Leftrightarrow\)\(G\)连通

定义10.2.6.树的权、最小生成树

算法10.2.1.【Kruskal算法】按权值升序一个个选择边加入生成树，边的条件是加入后不会形成环

定义10.3.1.&10.3.2.有向树、有向根树、树根、分支点、内点（入度为1出度大于0）、级（层）数、高度

定义10.3.3.祖先、后代、父亲、儿子、兄弟

定义10.3.4.根子树

定义10.3.5.m元树、二元（叉）树、m元正则树、完全m元正则树

定理10.3.1.有\(i\)个分支点的\(m\)元正则树有\(n = mi + 1\)个结点

定理10.3.2.对于\(m\)元正则树\(T\)，结点数为\(n\)，分支点数为\(i\)，树叶数为\(l\)

  1. \(i = \frac{n-1}{m}\)，\(l = \frac{(m-1)n + 1}{m}\)
  2. \(n = mi + 1\)，\(l = (m-1)i + 1\)
  3. \(n = \frac{ml-1}{m-1}\)，\(i=\frac{l-1}{m-1}\)

定理10.3.3.高度\(h\)的\(m\)元树至多有\(m^h\)片树叶

推论：\(h \geq \lceil{log_ml}\rceil\)

定义10.3.6.有序根树、左/右儿子、左/右子树

算法10.3.1.-10.3.3.前、中、后序遍历

应用：前缀表达式（波兰记法）、中缀表达式、后缀表达式（逆波兰记法）

定义10.4.1.前缀码（没有任何元素是其余元素的前缀）、二元前缀码

定理10.4.1&10.4.2.前缀码和二叉树一一对应

定义10.4.2.最优二元树（点权对应求和最小）

\[w(T) = \sum_{i = 1}^t w_il(v_i) \]

算法10.4.1.【Huffman算法】从集合中选两个权值最小的点/点集作为左右儿子，根结点权值为两儿子/子树的和，把根结点放入集合重复操作直到剩余\(1\)点

决策树:每个决策产生一个分支

➡可得到排序算法的理论最优是树高\(O(n\log n)\)

posted @ 2025-12-17 09:49  R4y  阅读(6)  评论(0)    收藏  举报