【梳理】线性代数与解析几何

第一章 行列式

定义1.1.（二阶行列式）

\[D = \left | \begin{matrix} a_{11}& a_{12} \\ a_{21}& a_{22} \end{matrix} \right | = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \]

定义1.2.（三阶行列式）

\[D = \left | \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13} \\ a_{21}& a_{22}& a_{23} \\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{matrix} \right | = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} \]

定义2.1.（排列）

• \(n\)阶排列：\(i_1i_2...i_n\)
• 自然排列：\(12...n\)

定义2.2.（逆序数）

• 逆序：排列中大数排在小数前面
• 逆序数：排列中逆序的数量
• 奇排列：逆序数为奇数
• 偶排列：逆序数为偶数

定义2.3.（对换）

• 对换：\(i,j\)两数发生对换，记作\((i,j)\)
• 相邻对换：相邻位置数字对换
• 一般对换：非相邻位置数字对换

定理2.1.对换改变排列奇偶性

推论2.1.排列经过奇数次对换奇偶性改变，偶数次对换奇偶性不变

推论2.2.当\(n \geq 2\)时，在\(n\)阶排列中，奇偶排列数目相等，即各有\(\frac{n!}{2}\)个

定理2.2.自然排列\(12...n\)可以与任意\(n\)阶排列\(i_1i_2...i_n\)经过一系列对换相互转换，且作对换的个数与排列\(i_1i_2...i_n\)具有相同的奇偶性

定义3.1.（\(n\)阶行列式）

\[D = \left | \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& ...& a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n} \\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn} \end{matrix} \right | = \sum_{j_1j_2...j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n} \]

性质4.1.\(|D| = |D^T|\)

性质4.2.某行/列全为零则行列式为\(0\)

性质4.3.交换任意两行/列，行列式变号

推论4.1.若数表两行/列相同，行列式为0

性质4.4.行列式具有线性性

推论4.2.数表有两行/列成比例，行列式为0

推论4.3.数表某一行/列的非零数倍加到另一行/列，行列式不变

定义5.1.（余子式）

• \(M_{ij}\)：除去第\(i\)行第\(j\)列后的行列式
• \(A_{ij}\)：\((-1)^{i+j}M_{ij}\)

定理5.1.（按行/列展开）

\[D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} \]

定理5.2.（任意行/列与不同行/列相乘结果为\(0\)）

\[a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + ... + a_{in}A_{jn} = 0(i \ne j) \]

定理5.3.（克拉默法则）

线性方程组，将\(AX=b\)的\(b\)覆盖系数矩阵的第\(i\)列，行列式记作\(D_i\)，则\(x_i = \frac{D_i}{D}\)

定理5.4.齐次线性方程组若系数行列式\(D\neq 0\)则只有零解，否则有非零解

定理5.5.（拉普拉斯展开定理）

\[D = M_1A_1 + M_2A_2 + ... + M_tA_t \]

(分块按行/列展开)

第二章 矩阵

定义1.1.（数域）

定义1.2.（矩阵）

定义1.3.（负矩阵）

定义1.4.（矩阵加法）

定义1.5.（矩阵数乘）

定义1.6.（矩阵乘法）

定义1.7.（矩阵转置）

定义1.8.（矩阵共轭）

定理2.1.\(|AB| = |A||B|\)

定义3.1.（初等行变换）

定义3.2.（等价关系）

定义3.3.（阶梯形矩阵）

定理3.1.任何一个矩阵都可经过一系列初等行变换化为阶梯形矩阵

定理3.2.任何一个矩阵都与形如以下的矩阵等价：

\[\left ( \begin{matrix} E_r& \text{0} \\ \text{0}& \text{0} \end{matrix} \right ) \]

定义3.4.（\(k\)阶子式）

定义3.5.（矩阵的秩）

定理3.3.初等变换不改变矩阵的秩

性质3.1.两同型矩阵等价\(\Leftrightarrow\)秩相等

性质3.2.阶梯型矩阵的秩为其非零行的数目

定义4.1.（逆矩阵）

定义4.2.（伴随矩阵）

\[A^* = \left ( \begin{matrix} A_{11}& A_{21}& ... & A_{n1} \\ A_{12}& A_{22}& ... & A_{n2} \\ \vdots & \vdots& & \vdots \\ A_{1n}& A_{2n}& ... & A_{nn} \end{matrix} \right ) \]

定理4.1. 矩阵可逆\(\Leftrightarrow\)行列式不为\(0\)

定义5.1.-5.3.（三种初等矩阵）

定理5.1.乘初等矩阵等效于作初等变换

定理5.2.若\(r(A) = r\)则存在有限个初等矩阵使得：

\[P_sP_{s-1}...P_2P_1AQ_1Q_2...Q_t = \left ( \begin{matrix} E_r& \text{0} \\ \text{0}& \text{0} \end{matrix} \right ) \]

推论5.1.-5.3（辅助求矩阵逆） 最终求法：

\[(A\ E) \rightarrow (E, A^{-1}) （行变换） \]

\[\left ( \begin{matrix} A \\ E \end{matrix} \right ) \rightarrow \left ( \begin{matrix} E \\ A^{-1} \end{matrix} \right ) (列变换) \]

第三章 向量代数与几何应用

定义1.1.（向量加法）

定义1.2.（向量平行、反向）（线性运算）

定义extra.（方向角、方向余弦）

\[\frac{\text{p}}{|\text{p}|} = \cos\alpha \text{i} + \cos\beta\text{j} + \cos\gamma\text{k} \]

定义2.1.（内积）

\[\text a \cdot \text b = |\text a||\text b|\cos<\text a,\text b> \]

定义2.2.（外积）

\[|\text c| = |\text a||\text b|\sin<\text a, \text b> \]

\(\text c\)方向与\(\text a,\text b\)同时垂直

便捷表示：

\[\text a \times \text b = \left | \begin{matrix} \text i& \text j& \text k \\ a_x& a_y& a_z \\ b_x& b_y& b_z \end{matrix} \right | \]

定义2.3.（混合积）

\[(\text a, \text b, \text c) = (\text a \times \text b) \cdot \text c \]

几何意义：平行六面体体积

3.1.平面点法式方程

\[A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \]

3.2.平面一般式方程

\[Ax + By + Cz + D = 0 \]

3.3.平面截距式方程

\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \]

3.4.平面三点式方程（看看就好）

\[\left| \begin{matrix} x - x_1& y - y_1& z - z_1 \\ x_2 - x_1& y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1& y_3 - y_1& z_3 - z_1 \end{matrix} \right| = 0 \]

3.5.平面束方程

\[\lambda_1(A_1x + B_1y + C_1z + D_1) + \lambda_2(A_2x + B_2y + C_2z + D_2) = 0 \]

4.1.直线点向式方程/对称式方程

\[\frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p} \]

4.2.直线两点式方程

\[\frac{x-x_0}{x_1-x_0} = \frac{y-y_0}{y_1-y_0} = \frac{z-z_0}{z_1-z_0} \]

4.3.直线参数方程

\[\begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + pt \\ \end{cases} \]

4.4.直线一般式方程

\[\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases} \]

extra.线线/线面/面面关系：向量关系

5.1.点线距离（设\(l(P_1,\text{s})\)）

\[d(P_0, l) = \frac{|\text{s} \times \overrightarrow{P_1P_0}|}{|\text{s}|} \]

5.2.点面距离

\[d(P_0, \pi) = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

第四章 线性方程组

定义1.1.

• 同解方程
• 增广矩阵

性质1.1.线性方程组初等变换同解

定理1.1.增广矩阵初等行变换同解

定理1.2.线性方程组有解\(\Leftrightarrow r(\text{A}) = r(\widetilde{\text{A}})\)

定理1.3.（解的情况与秩的关系）

定理1.4.齐次线性方程组有非零解\(\Leftrightarrow r(A) < n\)

推论1.1.（齐次线性方程组未知数数目多于方程数目则必有非零解）

推论1.2.齐次线性方程组有非零解\(\Leftrightarrow|A| = 0\)

定义2.1.（行/列向量）

定义2.2.（向量相等）

定义2.3.（向量的和）

定义2.4.（负向量及向量减法）

定义2.5.（向量数乘）
定义2.6.（\(n\)维向量空间）

定义3.1.（线性组合，线性表示/表出）

\[\alpha = k_1\alpha_1 + k_1\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m \]

定义3.2.（向量组线性表出）

\[\forall i, \alpha_i = k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + ... + k_n\beta_n \]

定义3.3.互相线性表出\(\Leftrightarrow\)向量组等价

定义3.4.（线性相关/无关）

存在不全为零的\(k_1, k_2, ..., k_m\)

\[k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = \text{0} \]

则线性相关，否则线性无关

定理3.1.向量组线性相关\(\Leftrightarrow\)向量组至少有一个向量可以被其他向量线性表出

定理3.2.部分线性相关则整体线性相关

定理3.3.线性无关的向量组加长后仍线性无关

定义4.1.（基）

• \(\{\alpha_i\}\)线性无关
• \(\mathbb{R}^n\)中任何一个向量可以由\(\{\alpha_i\}\)线性表出

4.extra.1.（过渡矩阵）

\[\begin{cases} \beta_1 = a_{11}\alpha_1 + a_{21}\alpha_2 + ... + a_{n1}\alpha_n \\ \beta_2 = a_{12}\alpha_1 + a_{22}\alpha_2 + ... + a_{n2}\alpha_n \\ ...\\ \beta_3 = a_{13}\alpha_1 + a_{23}\alpha_2 + ... + a_{n3}\alpha_n \end{cases} \]

\[\text{A} = \left ( \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& ...& a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn} \end{matrix} \right ) \]

\(\text{A}\)是\(\{\alpha_i\}\)到\(\{\beta_i\}\)的过渡矩阵

\[(\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n) = (a_1, a_2, ..., a_n)\text{A} \]

为基变换公式

对于\(\{\alpha_i\}\)与\(\{\beta_i\}\)下的坐标，有坐标变换公式

\[\left ( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right ) = \text{A} \left ( \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{matrix} \right ) \]

定理4.1.（坐标变换，过渡矩阵可逆）

4.extra.2（过渡矩阵求法）

\[B = AX \]

则

\[X = A^{-1}B \]

因而可以通过

\[(A B) \rightarrow (E, A^{-1}B)(初等行变换) \]

定义5.1.（极大线性无关组）

求法：

• 化为阶梯形矩阵
• 主元位置即为极大线性无关组元素

定理5.1.向量组任意一个极大线性无关组都与向量组自身等价

定理5.2.对于向量组\(A\)和\(B\)若：

• \(A\)可由\(B\)线性表出
• \(|A| > |B|\)

则\(A\)线性相关

推论5.1.设\(A:\{\alpha_i\}_{i=1}^r\)可由\(B:\{\beta\}_{i=1}^s\)线性表示，且\(A\)线性无关，则\(r \leq s\)

推论5.2.任意\(n+1\)个\(n\)维向量一定线性相关，从而当\(m>n\)时，任意\(m\)个\(n\)维向量一定线性相关

推论5.3.一个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量

定义5.2.一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩

推论5.4.等价的向量组有相同的秩

定理5.3.矩阵行秩等于列秩等于矩阵秩

结论5.extra.1.任何矩阵经过依次初等行变换后，新矩阵的行向量组都可由原矩阵的行向量组线性表出

定理5.4.对于\(A_{m\times n},B_{n\times s}\)有

\[r(AB) \leq \min\{r(A), r(B) \} \]

可以看出矩阵乘法是一个降秩的操作

推论5.5. 若\(A = \prod_{i=1}^t A_i\)，则

\[r(A) \leq \min\{r(A_1), r(A_2), ..., r(A_t)\} \]

推论5.6.对于可逆矩阵\(P,Q\)

\[r(A) = r(PA) = r(AQ) \]

定理6.1.

线性方程组有解\(\Leftrightarrow x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + ... + x_n\alpha_n = \text{b}\)中\(\text b\)可以由\(\{\alpha_i\}\)线性表出

性质6.1.齐次线性方程组有两解\(\xi_1, \xi_2\)则\(\xi_1 + \xi_2\)也是该方程组的解

性质6.2.齐次线性方程组有解\(\xi\)，则\(k\xi\)也是该方程组的解

定义6.1.（基础解系）

• \(\{\eta_i\}\)线性无关
• 齐次线性方程组任意一个解都可以由\(\{\eta_i\}\)线性表出

定理6.2.

若齐次线性方程组有非零解，则一定有基础解系

并且基础解系所含解的个数为\(n - r(A)\)【自由变量个数】

基础解系求解方式：

• 系数矩阵化为行最简
• 确定自由变量
• 赋值回代（自由变量分别赋值为\(1\)）

定义6.2.（通解/一般解）

\[\eta = c_1\eta_1 + c_2\eta_2 + ... + c_{n-r}\eta_{n-r} \]

性质6.3.若\(\gamma_1,\gamma_2\)是\(AX=b\)的解，则\(\gamma_1-\gamma_2\)是\(AX=0\)的解

性质6.4.若\(\gamma\)是\(AX=b\)的解，\(\eta\)是\(AX=0\)的解，则\(\gamma+\eta\)是\(AX=b\)的解

定理6.3对于线性方程组的一个特解\(\gamma_0\)，任意一个解可以表示为

\[\gamma = \gamma_0 + \eta \]

其中\(\eta\)是导出组的一个解\(AX=b \rightarrow AX=0\)

定理6.4.\(AX=b\)通解由特解和导出组的通解构成

第五章 特征值与特征向量

定义1.1.（特征值，特征向量）

\[A\alpha = \lambda\alpha \]

定义1.2.（特征多项式，特征矩阵）

\[|\lambda E - A| = 0 \]

特征值，特征向量求法：

• 求特征多项式\(|\lambda E - A|\)
• 求出特征多项式所有根，即为\(A\)的所有特征值
• 对于每一个\(\lambda_i\)求出\((\lambda_i E - A )X = 0\)基础解系，然后便可以求得所有特征向量

性质1.1.\(A^T\)与\(A\)特征值相同

性质1.2.（注意重根也包含在内）

• \(tr(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + ... + \lambda_n\)
• \(det(A) = \lambda_1\lambda_2...\lambda_n\)

性质1.3.设\(\{\lambda_i\}_{i=1}^t\)是\(A\)两两不同的特征值，\(\alpha_{i1},\alpha_{i2},...,\alpha_{ir_i}\)是对应\(\lambda_i\)的一些线性无关的特征向量，则所有\(\alpha_{ir_i}\)线性无关

性质1.4.属于不同特征值的特征向量线性无关

定义2.1.（相似矩阵）

\[B = P^{-1}AP \]

则\(A\sim B\)

性质2.1.若\(A\sim B\)则

• \(|A| = |B|\)
• 两矩阵特征值与特征向量相同
• \(tr(A) = tr(B)\)且\(r(A) = r(B)\)
• \(f(B) = P^{-1}f(A)P\)
• \(A^T\sim B^T\)且\(A^* \sim B^*\)

定义2.2.如果存在\(P\)以及对角矩阵\(\Lambda\)使得

\[P^{-1}AP = \Lambda \]

则称\(A\)可对角化，并且\(P\)对角化\(A\)

定理2.1.\(n\)阶矩阵\(A\)与一个对角矩阵相似/可对角化\(\Leftrightarrow\)\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量

推论2.1.\(A\)有\(n\)个不同的特征值\(\Rightarrow\)\(A\)可对角化

推论2.2.\(A\)的特征多项式无重根\(\Rightarrow\)\(A\)可对角化

(以上推论都是充分不必要的)

对角化方式：

• 求出\(n\)个线性无关的特征向量
• \(P^{-1}AP=\text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n)\)

定义3.1.向量内积

\[(\alpha, \beta) = \alpha\beta^T =\sum_{i = 1}^n x_iy_i \]

运算规律：

• \((\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)\)
• \((k\alpha, \beta) = k(\alpha, \beta)\)
• \((\alpha_1 + \alpha_2, \beta) = (\alpha_1, \beta) + (\alpha_2, \beta)\)
• \((\alpha, \alpha) \geq 0\)，当且仅当\(\alpha = 0\)取等

定义3.2.向量长度

\[|\alpha| = \sqrt{(\alpha, \alpha)} = \sqrt{\sum_{i = 1}^n a_i^2} \]

不等式

• 【Cauchy-Schwartz】\(|(\alpha, \beta)| = |\alpha|\cdot|\beta|\)
• 【三角不等式】\(|\alpha| + |\beta| \geq |\alpha + \beta|\)

定义3.3.向量夹角

\[\cos\theta = \frac{(\alpha, \beta)}{|\alpha|\cdot|\beta|},\quad(0\leq \theta \leq \pi) \]

定义3.4.向量正交

性质3.2.向量正交\(\Leftrightarrow (\alpha, \beta) = 0\)

定义3.5.正交向量组

定理3.1.内积空间\(\mathbb{R}^n\)中，正交向量组\(\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m\)必线性无关

定义3.6.正交基、标准正交基

定理3.2.施密特正交化

定义3.7.正交矩阵，满足

\[A^TA = E \]

性质如下：

• \(A\)可逆并且\(A^{-1} = A^T\)
• \(A^{-1}\)与\(A^T\)均为正交矩阵
• \(|A| = \pm1\)
• 正交矩阵的乘积依旧是正交矩阵

定理3.4.实对称矩阵的特征值都是实数

定理3.5.实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交

定理3.6.设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，则存在正交矩阵\(T\)，使得\(T^{-1}AT\)为对角矩阵

至此实对称矩阵对角化的准备工作就做完了，以下是对角化过程

• 求出每一个特征值，再得到对应特征向量
• 同一特征值对应的特征向量进行组内正交化
• 对正交化后的每一个向量单位化

第六章 二次型与二次曲面

定义1.1.\(n\)元二次型及对应矩阵

定义1.2.线性替换

\[X = CY \]

若\(C\)可逆，则是非退化的线性替换，否则是退化的线性替换

通过线性替换可以将二次型化为标准型（仅含平方项）

定义1.3.合同关系

\[B = C^TAC \]

则称\(A\)合同于\(B\)

合同关系是一种等价关系（离散数学的）

定理1.1.非退化的线性替换后得到的矩阵与原矩阵合同

标准化二次型

• 方法一：求得特征值得到特征向量
• 方法二：配方法

定理1.3.数域\(F\)上的任意一个二次型都可以经非退化线性替换使之成为标准型

定理1.4.数域\(F\)上的任意对称矩阵都合同于一个对角矩阵

【因此矩阵的标准化需要考察对称性】

定理1.5.二次型的秩

规范型：标准化后系数化为1

定理1.6.【惯性定理】任意一个实数域上的二次型经过一适当非退化的线性替换可以变成规范型，且规范型唯一确定

（符号差，即正惯性指数减去负惯性指数再非退化的线性替换中不会改变）

定义2.1.正定二次型、半正定二次型

性质2.1.非退化线性替换将正定实二次型仍变为正定实二次型

定理2.1.设有\(n\)元实二次型\(f(x_1, x_2, ..., x_n) = X^TAX\)，则以下命题等价：

• \(f\)为正定二次型
• \(A\)所有特征值都是正实数
• \(A\)的秩和正惯性指数都是\(n\)
• \(A\)与\(E\)合同
• 存在可逆矩阵\(P\)使得\(A = P^TP\)

正定二次型➡正定矩阵

性质2.2.实正定矩阵\(A\)的行列式大于\(0\)

定义2.2.\(k\)阶顺序主子式

定理2.2.实对称矩是正定矩阵\(\Leftrightarrow\)它的各阶顺序主子式全大于零

球面方程

\[x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0 \]

\(t = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4} - d\)决定了形状

柱面及其方程

\[f(x, y) = 0 \]

旋转面

\[f(\pm\sqrt{x^2 + y^2}, z) = 0 \]

圆锥面：直线绕直线旋转

空间曲线方程

\[\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases} \]

\[\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(y) \\ z = z(t) \\ \end{cases} \]

投影柱面、投影曲线、投影

\[\begin{cases} H(x, y) = 0 \\ z = 0 \end{cases} \]

椭球面

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \]

二次锥面

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \]

单叶双曲面

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \]

双叶双曲面

\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \]

椭圆抛物面

\[z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \]

双曲抛物面（马鞍面）

\[z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \]

二次方程化简

对于二次方程，可以看作二次型，标准化之后考察对应的曲面类型