【梳理】工科数学分析（上）

第一章 集合与函数

基本概念

笛卡儿乘积：

\[A \times B = \{(x, y) | x \in A \and y \in B\} \]

引理：

• 有理数可以表示为\(r = \frac{p}{q}\)，其中\(p,q \in \mathbb{Z}\)且\(\gcd(p, q) = 1\)

因而可以通过此证明非完全平方数开根号都是无理数，以\(\sqrt{2}为例\)

证明：（反证法）

假设\(\sqrt 2\)是有理数

则\(\sqrt 2 = \frac{p}{q},\quad p, q\in z, \quad \gcd(p, q) = 1\)

\(\Rightarrow \sqrt2 q = p\)

\(\Rightarrow 2q^2 = p^2\)

令\(p = 2t\)则

\(\Rightarrow 2q^2 = 4t^2 \Rightarrow q^2 = 2t^2\)

则\(2 | q\)且\(2 | p\)，因而\(\gcd(p, q) \neq 1\)

与原假设矛盾，所以\(\sqrt 2\)是无理数\(\square\)

区间：

开区间：\((a, b)\)

闭区间：\([a, b]\)

（正/负）无穷大：\((\pm)\infty\)

邻域：

邻域：\(O(a)\)

空心邻域：\(O_o(a, b)\)

左邻域：\(O^+(a)\)

右邻域：\(O^-(a)\)

常用不等式

绝对值不等式：

\[a \leq |a| \]

\[-a \leq |a| \]

三角不等式：

\[||a| - |b|| \leq |a + b| \leq |a| + |b| \]

更一般地：

\[|\sum_{i = 1}^n a_i| \leq \sum_{i = 1}^n|a_i| \]

伯努利不等式：

\[(1 + x)^n \geq 1 + nx \]

其中\(x > 1,\ n \in \mathbb{N}\)

均值不等式：

对于\(n\)个正实数\(x_1, x_2, ..., x_n\)有：

\[\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \]

此后会利用凹凸性进行证明

有界性

上/下界：

上界：\(\exist M\quad s.t. \forall x\in E\quad x \leq M\)

下界：\(\exist M\quad s.t. \forall x\in E\quad x \geq M\)

有界：有上下界

上/下确界：

上确界（最小上界）：\(\beta = \sup E\)

• \(\beta \geq x\quad \forall x \in E\)
• \(\varepsilon > 0\quad \exist x_\varepsilon \in E\quad s.t.x_\varepsilon > \beta - \varepsilon\)

下确界（最大下界）：\(\beta = \inf E\)

• \(\beta \leq x\quad \forall x \in E\)
• \(\varepsilon > 0\quad \exist x_\varepsilon \in E\quad s.t.x_\varepsilon < \beta + \varepsilon\)

映射

映射类型：

满射：\(\forall y \in Y\quad \exist x \in X \quad s.t. y = f(x)\)

单射：\(\forall x_1, x_2 \in X, x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)\)

\(\Leftrightarrow\quad f(x_1) = f(x_2)\Rightarrow x_1 = x_2\)

双射：单射+满射（一一对应）此时两集合等势

恒等映射：

对于非空集合\(A\)，\(\forall x \in A\)，定义\(I(x) = x\)，则\(I\)是\(A \rightarrow A\)的恒等映射，记作\(I_A\)

复合映射：

定义\(g:X \rightarrow Y_1,\ f:Y_2 \rightarrow Z\)

其中\(Y_1 \sub Y_2\)

将\(\forall x \in X\)映射为\(f[g(x)] \in Z\)称为由\(g\)和\(f\)构成的复合映射，记作\(f\circ g\)

复合映射具有结合律

逆映射：

对于\(f:X \rightarrow Y\)，若存在映射\(g:Y \rightarrow X\)满足

\[f \circ g = I_Y\quad g\circ f = I_X \]

则称\(f\)可逆，\(g\)为\(f\)的逆，记为\(f^{-1} = g\)

一元函数

定义：

设数集\(D \sub \mathbb{R}\)，称映射\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\)为定义在\(D\)上的函数

特殊函数：

• 符号函数

\[\text{sgn} x = \begin{cases} 1\quad x > 0\\ 0\quad x = 0\\ -1\quad x < 0 \end{cases} \]

• 绝对值函数

\[|x| = \begin{cases} -x\quad x < 0 \\ x\quad x \geq 0 \end{cases} \]

• 取整函数：\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数
• \(Dirichlet\)函数

\[D(x) = \begin{cases} 1\quad x \in \mathbb{Q} \\ 0\quad x \notin \mathbb{Q} \end{cases} \]

• \(Riemann\)函数

\[R(x) = \begin{cases} \frac{1}{q}\quad x \in \mathbb{Q}\quad x = \frac{p}{q} \\ 0\quad x \notin \mathbb{Q} \end{cases} \]

复合函数：

见复合映射即可

反函数：

性质：\(f(x)\)与\(f^{-1}(x)\)图形关于\(y = x\)对称

函数性质

有界性：

设\(f(x)\)在\(I\)上有定义，若存在常数\(M(m)\in \mathbb{R}\)

\(\forall x \in I\)有\(f(x)\leq M(\geq m)\)则称\(M(m)\)是\(f(x)\)的上（下）界

同时有上下界称为有界函数：

\[\exist K > 0\quad \forall x \in I\quad |f(x)| \leq K \]

单调性：

• 单调：\(\leq\)和\(\geq\)
• 严格单调\(<\)和\(>\)

奇偶性：

• 偶函数：\(f(x) = f(-x)\)
• 奇函数：\(f(x) = -f(-x)\)

任何函数都可以被奇偶函数的和表示：\(f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(x)}{2}\)

周期性：

\[f(x + T) = f(x) \]

常用函数

• 常值函数

\[f(x) \equiv C \]

• 幂函数

\[f(x) = x^\alpha \]

• 指数函数

\[f(x) = a^x \]

• 对数函数

\[f(x) = \log_ax \]

• 三角函数

注意和差化积

• 反三角函数

1.\(y = \arcsin x\)

2.\(y = \arccos x\)

3.\(y = \arctan x\)

4.\(y = \text{arccot}\ x\)

• 双曲函数

\[\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \]

\[\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \]

\[\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \]

第二章 极限与连续

函数极限

普通极限：\(\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = A\)

\[\forall \varepsilon > 0\quad \exist \delta > 0\quad s.t. 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon \]

否定：

\[\exist \varepsilon > 0\quad \forall \delta > 0\quad s.t. 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| \geq \varepsilon \]

第一个式子\(x\)取任意，第二个式子取存在

无穷远处极限：\(\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = A\)

\[\forall \varepsilon > 0\quad \exist X > 0\quad s.t.|x| > X \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon \]

单侧极限：\(\lim_{x \rightarrow x_0^{\pm}}f(x) = A\)

\[\forall \varepsilon > 0\quad \exist \delta > 0\quad s.t.0 < x-x_0 < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon \]

\[\forall \varepsilon > 0\quad \exist \delta > 0\quad s.t.-\delta < x-x_0 < 0 \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon \]

单侧无穷极限：\(\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x) = A\)

\[\forall \varepsilon > 0\quad \exist X > 0 s.t. x > X \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon \]

\[\forall \varepsilon > 0\quad \exist X > 0 s.t. x < -X \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon \]

极限为无穷：\(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \infty\)

\[\forall G > 0\quad \exist \delta > 0\quad s.t.0<|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)| > G \]

无穷大量：

若\(\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = \infty\)则说\(f(x)\)为无穷大量

注：无穷大量是个函数

函数极限性质及运算

唯一性：唯一

局部有界性：局部有界

局部保号性：

若\(\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = A > 0(< 0)\)

则对于给定的\(r:0 < r < |A|\)

\[\exist \delta > 0\quad s.t. x \in O_o(x_0, \delta) \Rightarrow f(x) > r > 0 (f(x) < -r < 0) \]

极限不等式：

若\(\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)\)与\(\lim_{x \rightarrow x_0}g(x)\)存在并且在\(O_o(x_0, \delta_0)\)有\(f(x) \leq g(x)\)则

\[\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) \leq \lim_{x \rightarrow x_0}g(x) \]

迫敛性：

设极限\(\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0}g(x) = A\)

且在\(O_o(x_0, \delta_0)\)中恒有：

\[f(x) \leq h(x) \leq g(x) \]

则

\[\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = A \]

四则运算（极限存在且有意义为前提）：

• \[\lim_{x \rightarrow x_0}[f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \rightarrow x_0}f(x) \pm \lim_{x\rightarrow x_0}g(x) \]

• \[\lim_{x\rightarrow x_0}kf(x) = kA \]

• \[\lim_{x\rightarrow x_0} [f(x)g(x)] = AB \]

• \[\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \]

复合运算：

有\(\lim_{t\rightarrow t_0}f(t) = A\)

\(t = g(x)\)在\(O_o(x_0, \delta_1)\)上有定义

\(x\in O_o(x_0, \delta_1)\)时，\(t = g(x) \in O_o(t_0, \delta_0),\ g(x)\neq 0\)则

\[\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)] = A \]

渐近线：

• 水平渐近线：

\[\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = A \]

• 垂直渐近线：

\[\lim_{x \rightarrow a^\pm}f(x) = \infty \]

• 斜渐近线：

\[k = \lim_{x\rightarrow \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \]

\[b = \lim_{x\rightarrow \pm\infty}[f(x) - kx] \]

数列极限、性质、运算

定义：

对于数列\(\{x_n\}\)，\(a\)为给定的数

\[\forall \varepsilon > 0 \quad \exist N \in \mathbb{N}^*\quad s.t.n > N\quad |x_n - a| < \varepsilon \]

则称\(\{x_n\}\)收敛，极限为\(a\)，记为

\[\lim_{x \rightarrow \infty} x_n = a \]

唯一性：唯一

有界性：收敛则有界

局部保号性：

若\(\lim_{n\rightarrow \infty}x_n = a\)且\(a > 0\)则存在\(N \in \mathbb{N}^*\)当\(n > N\)时有

\[x_n > 0 \]

（小于0的情况同理）

夹逼性：

对于数列\(\{x_n\}\{y_n\}\{z_n\}\)满足：

• \(y_n \leq x_n \leq z_n\)
• \(\lim_{n\rightarrow \infty}y_n = \lim_{n\rightarrow \infty}z_n = a\)

则\(\{x_n\}\)极限存在并且：

\[\lim_{n\rightarrow \infty}x_n = a \]

Heine定理：

\[\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = A \]

等价于：

任意以\(x_0\)为极限的数列\(\{x_n\}\)，且\(x_n \neq x_0\)有：

\[\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n) = A \]

两个重要极限：

\[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

\[\lim_{n\rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e \]

单调性：

\[\begin{cases} x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n, 单调增（去掉等号严格单调增）\\ x_1 \geq x_2 \geq ... \geq x_n, 单调减（去掉等号严格单调减） \end{cases} \]

单调有界收敛定理：单调+有界=收敛（并且收敛于上/下确界）

实数基本定理

单调有界收敛定理：单调有界收敛

闭区间套定理：

内容：设\([a_n, b_n]\)是一串闭区间，满足：

• \(a_n \leq a_{n+1} < b_{n+1} \leq b_n\)，即\([a_{n+1}, b_{n + 1}]\sub[a_n, b_n]\)

• \(n\rightarrow \infty\)，\([a_n, b_n]\)长度趋近于\(0\)，即\(\lim_{n\rightarrow \infty}(b_n - a_n) = 0\)

  则存在唯一的\(\xi\in \mathbb{R}\)使得

  \[\lim_{n\rightarrow \infty}a_n = \xi = \lim_{n\rightarrow \infty}b_n \]

  且\(\xi\)是所有闭区间的唯一公共点，即：

  \[\bigcap_{n = 1}^\infty[a_n, b_n] = \xi \]

Bolzano-Weierstrass致密性定理：每个有界数列都有收敛的子列

Cauchy收敛准则：

定义：设数列\(\{x_n\}\)若\(\forall\varepsilon > 0\quad \exist N\quad s.t.m, n > N\)时有：

\[|x_m - x_n| < \varepsilon \]

则称\(\{x_n\}\)为Cauchy列

定理：一个数列收敛\(\Leftrightarrow\)这个数列是Cauchy列

无穷大与无穷小

无穷小量：

定义：设\(f(x)\)在\(x_0\)某空心邻域有定义，若\(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = 0\)，则称\(f(x)\)为\(x\rightarrow x_0\)时的无穷小量，亦称无穷小，记为\(f(x) = o(1)\)

定理：

\[\lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = A\Leftrightarrow f(x) = A + o(1) \]

拓展定义：

• 若\(\lim \frac{f(x)}{g(x)} = 0\)，则\(f(x)\)为\(g(x)\)的高阶无穷小，记为\(f(x) = o(g(x))\)
• 若\(\lim\frac{f(x)}{g(x)} = C \neq 0\)，则称\(f(x)\)与\(g(x)\)为同阶无穷小，记为\(f(x) \sim Cg(x)\)
• 若\(\lim\frac{f(x)}{g(x)}=1\)，则称\(f(x)\)与\(g(x)\)为等价无穷小，记为\(f(x)\sim g(x)\)
• 若\(\lim\frac{f(x)}{(x-x_0)^k}=C\neq 0\)，则称\(f(x)\)为\(k\)阶无穷小
• 若\(|f(x)| \leq M|g(x)|\)，则记为\(f(x) = O(g(x))\)

可以发现，\(o(1)\)是\(O(1)\)，但是\(O(1)\)不是\(o(1)\)

常见等价无穷小：

• \(x\sim \sin x\sim tanx\quad x\rightarrow 0\)
• \(x\sim \arcsin x \sim \arctan x\quad x\rightarrow 0\)
• \(\ln(1+x) \sim x\quad x\rightarrow 0\)
• \(1 - \cos x\sim \frac{1}{2}x^2\quad x\rightarrow 0\)
• \((1 + x)^\alpha - 1\sim \alpha x\quad x\rightarrow 0\)
• \(a^x - 1 \sim x\ln a\quad x\rightarrow 0\)

事实上在学习泰勒展开之后，以上都是自然的

无穷大量：类比无穷小量即可

连续与间断

连续：

1.定义：设\(f(x)\)在\(O(x_0)\)有定义，\(f(x)\)在\(x_0\)处连续时满足：

\[\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) \]

2.单侧连续：

• 右连续

\[\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x) \stackrel{\triangle}{=}f(x_0^+) = f(x_0) \]

• 左连续

\[\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x) \stackrel{\triangle}{=}f(x_0^-) = f(x_0) \]

• 可见连续的要求是左连续且右连续

3.连续函数：

• 开区间连续：区间上每一点都连续
• 闭区间连续：区间内每一点都连续，并且左端点右连续，右端点左连续

记法\(f(x)\in C(a, b)\qquad f(x)\in C[a, b]\)

4.函数在某点连续的推论：

• 在某点有定义
• 在某点有极限
• 极限值等于函数值

间断点：

• 第一类间断点：\(f(x_0^+),f(x_0^-)\)均存在
  • 可去间断点：\(f(x_0^+) = f(x_0^-)\)但\(f(x_0)\)不存在或不等于极限值
  • 跳跃间断点：\(f(x_0^+) \neq f(x_0^-)\)
• 第二类间断点：\(f(x_0^+),f(x_0^-)\)至少一个不存在
  • 无穷间断点：其中至少一个极限为无穷
  • 振荡间断点：其中至少一个极限由于振荡而不存在

连续函数的性质

四则运算：可以算

复合函数：

\(y = f\circ g(x)\)，\(u = g(x)\)在\(x = x_0\)处连续并且\(y = f(u)\)在\(u=u_0\)处连续，则

\(y = f\circ g(x)\)在\(x = x_0\)处连续

反函数：

• 引理：设函数\(g(x)\)在区间\(J\)上单调，若\(I = g(J)\)是一个区间，则\(g(x)\)是\(J\)上的连续函数

• 定理：设\(y = f(x)\)在\(I\)上严格增/减且连续，值域为\(J\)，则其反函数\(x = \varphi(y)\)在\(J\)上严格增/减且连续

有界性定理：若\(f(x)\in C[a, b]\)，则\(f(x)\)在\([a, b]\)有界

最大值和最小值定理：若\(f(x) \in C[a, b]\)，则\(f(x)\)有最大值和最小值

零点存在定理：闭区间端点函数值异号，则区间内有零点

介值定理：设\(f(x)\in C[a, b],f(a)\neq f(b)\)，且\(f(a) = A, f(b) = B\)，\(\eta \in(A, B)\)，则至少存在一点\(\xi\)使得\(f(\xi) = \eta,\xi\in(a, b)\)

值域定理：若\(f(x)\in C[a, b]\)，则值域\(J= f([a, b])\)也是一个闭区间（可以退化为一点）

一致连续：

设\(f(x)\)在\(I\)上有定义，若对\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exist \delta_\varepsilon\)仅仅与\(\varepsilon\)有关，\(s.t.|x_1 - x_2| < \delta_\varepsilon\)时有

\[|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon \]

则称\(f(x)\)一致连续

• 否定：取两个数列使得它们的差极限为零，但是\(|f(x_n) - f(y_n)| \geq \varepsilon\)

Cantor定理：有界闭区间上的连续函数一致连续

第三章 一元函数微分学

导数的概念

定义:

\[f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

若该式子成立则\(f(x)\)在\(x\)处可导

单侧导数：

• 右导数：

\[f_+'(x) = \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

• 左导数：

\[f_-'(x) = \lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

• 开区间可导：区间内任一点可导
• 闭区间可导：开区间可导+端点单侧可导

定理（可导与连续）：可导必连续，连续不一定可导

求导法则

四则运算：

• \((u \pm v)' = u' \pm v'\)

• \((Cu)' = Cu'\)

• \((uv)' = u'v + uv'\)

• \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)

• 拓：行列式求导

\[\left | \begin{matrix} a(x)& b(x) \\ c(x)& d(x) \end{matrix} \right |' = \left | \begin{matrix} a'(x)& b(x) \\ c'(x)& d(x) \end{matrix} \right | + \left | \begin{matrix} a(x)& b'(x) \\ c(x)& d'(x) \end{matrix} \right | \]

复合函数求导：

\[[f\circ g(x)]' = f'\circ g(x) \cdot g'(x) \]

更一般地，可以拓展到多级求导：

\[[f\circ g\circ h(x)]' = f'\circ g\circ h(x)\cdot g'\circ h(x)\cdot h'(x) \]

反函数求导：

\[[f^{-1}(y)]' = \frac{1}{f'(x)} \]

高阶导数：

\[f^{(n)}(x) = [f^{(n-1)}(x)]' \]

特别地，定义\(f^{(0)}(x) = f(x)\)

高阶导数混合运算：

• \((u\pm v)^{(n)} = u^{(n)}\pm v^{(n)}\)
• [莱布尼茨公式]

\[(uv)^{(n)} = \sum_{k = 0}^n C_n^k u^{(n - k)}v^{(k)} \]

隐函数与参数方程求导

隐函数求导：隐函数求导

参数方程求导：

\[\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases} \]

则

\[y'(x) = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \]

二阶导

\[\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = \frac{\text d}{\text dt}(\frac{\text d y}{\text d x})\frac{\text d t}{\text d x} \]

极坐标求导

对于坐标\((r, \theta)\)，有

\[\begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases} \]

\[\frac{\text dy}{\text dx} = \frac{\tan\theta + \frac{r(\theta)}{r'(\theta)}}{1 - \frac{r(\theta)}{r'(\theta)}\tan\theta} = \tan[\theta + \arctan\frac{r(\theta)}{r'(\theta)}] \]

微分

概念：可微，微分，可微函数

\[\text dy = f'(x)\text dx \]

四则运算：参照导数运算

以除法为例

\[\text d[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{1}{g^2(x)}[\text df(x)g(x) - f(x)\text dg(x)] \]

一阶微分的形式不变性：

对于复合函数来说，若有中间变量\(x = g(t)\)，可以有：

\[\text dy = f'(x)\text dx \]

但是对于更高阶微分不行

高阶微分：

\[\text d^ny = f^{(n)}\text dx^n \]

应用：

• 近似计算
• 误差估计

微分中值定理

定理：最大/最小值（点）

定理：极大/极小值（点）

Fermat定理：

设\(f(x)\)在\(x_0\)有极值且\(f'(x_0)\)存在，则

\[f'(x_0) = 0 \]

定义：

• 临界点：\(f'(x)=0\)或\(f'(x)\)不存在的点
• 驻点：\(f'(x)=0\)的点

Rolle定理：对于函数\(f(x)\)，满足：

• 在\([a, b]\)连续
• 在\((a, b)\)可导
• \(f(a) = f(b)\)

则在\((a, b)\)至少存在一点\(\xi\quad s.t.\)

\[f'(\xi) = 0 \]

Lagrange中值定理：对于函数\(f(x)\)，满足：

• 在\([a, b]\)连续
• 在\((a, b)\)可导

则\(\exist \xi\in (a, b)\quad s.t.\)

\[f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

Cauchy中值定理：对于函数\(f(x)\)和\(g(x)\)，满足：

• 在\([a, b]\)连续
• 在\((a, b)\)可导，且\(g'(x) \neq 0\)

则\(\exist \xi \in(a, b)\quad s.t.\)

\[\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \]

L'Hospital（原神）法则

\(f(x)\)和\(g(x)\)满足条件：

• \[\lim_{x\rightarrow a}f(x) = \lim_{x\rightarrow a}g(x) = 0/\infty \]

• \(f(x)\)和\(g(x)\)在\(O_o(a)\)可导，且\(g'(x)\neq 0\)

• \[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = l \]

则有以下等式：

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = l \]

Taylor公式

\(f(x)\)在\(x_0\)处带Peano余项的Taylor公式：

\[f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o[(x-x_0)^n] \]

\(f(x)\)在\(x_0\)处带Peano余项的Maclaurin公式：

\[f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(x_0)}{2!}x^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n + o(x^n) \]

\(f(x)\)在\(x_0\)处带Lagrange余项的Taylor公式：

\[f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_{n+1}(x) \]

其中：

\[R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \]

\(f(x)\)在\(x_0\)处带Lagrange余项的Maclaurin公式：

\[f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(x_0)}{2!}x^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n + R_{n+1}(x) \]

这时：

\[R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1} \]

常用Taylor公式：

\[e^x = 1 + \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}x^2 + ... + \frac{1}{n!}x^n + \frac{e^\xi}{(n+1)!}x^{n+1} \]

\[\sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + ... + \frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)!}x^{2k-1} + R_{2k+1}(x) \]

\[R_{2k+1}(x) = \frac{(-1)^k\cos\xi}{(2k+1)!}x^{2k+1} \]

\[\cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^3 -...+\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} + R_{2k+2}(x) \]

\[R_{2k+2}(x) = \frac{(-1)^{k+1}\cos\xi}{(2k+2)!}x^{2k+2} \]

\[(1+x)^\alpha = 1 + \frac{\alpha}{1!}x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + ... + \frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+R_{n+1}(x) \]

\[R_{n+1}(x) = \frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n)(1+\xi)^{\alpha-n-1}}{(n+1)!}x^{n+1} \]

\[\ln(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-...+\frac{(-1)^{n-1}}{n!}x^n+R_{n+1}(x) \]

\[R_{n+1}(x) = \frac{(-1)^n}{n+1}\frac{1}{(1+\xi)^{n+1}}x^{n+1} \]

应用：

• 近似计算

• 求不定型极限

• 证明不等式

函数性态研究

（严格）单调：（严格）单调

极值判断：

• 邻域导数
• 二阶导数
• 高偶数阶导数

凹凸性：

（严格）凸函数

\[f[(1-t)x_1 + tx_2] \leq(<) (1-t)f(x_1) + tf(x_2) \]

（严格）凹函数

\[f[(1-t)x_1+tx_2] \geq(>) (1-t)f(x_1) + tf(x_2) \]

Jenson表示：对于连续函数，取\(t = \frac{1}{2}\)即可

重要证明/解题方式

第一章

证明确界的两种定义方式等价：

定义一：\(\beta\)是\(E\)的一个上界，且任何\(E\)的上界\(\beta'\)均满足\(\beta \leq \beta'\)

定义二：

• \(\beta \geq x\quad \forall x \in E\)
• \(\varepsilon > 0\quad \exist x_\varepsilon \in E\quad s.t.x_\varepsilon > \beta - \varepsilon\)

证：

1.\("\Rightarrow"\)

设\(\beta\)为\(E\)的最小上界，要证明满足两个条件

第一个条件显然成立

第二个条件利用反证法证明：

若不成立，则

\[\exist \varepsilon > 0\quad \forall x_{\varepsilon_0}\in E\quad s.t.x_{\varepsilon_0} \leq \beta - \varepsilon_0 \]

因而\(\beta - \varepsilon_0\)是\(E\)的一个上界，而

\[\beta - \epsilon_0 < \beta \]

与\(\beta\)是最小上界矛盾，故第二个条件应当成立

2.\("\Leftarrow"\)

目标是证明\(\beta\)为\(E\)的最小上界

由第一个条件可知\(\beta\)是\(E\)的一个上界

若\(\beta\)不是\(E\)的最小上界，则存在\(\beta' < \beta\)也为\(E\)的上界

设\(\varepsilon = \beta - \beta' > 0\)

由第二个条件可知\(\exist x_\varepsilon\in E\quad s.t.\)

\[x_\varepsilon > \beta - \varepsilon = \beta' \]

因而

\[x_\varepsilon \in E \and x_\varepsilon > \beta' \]

与\(\beta'\)为\(E\)上界矛盾，故\(\beta\)是最小上界\(\square\)

---

求解\(\tanh x\)的反函数：

\[y = \tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \]

令\(e^x = t > 0\)

则

\[y = \frac{t - \frac{1}{t}}{t + \frac{1}{t}} = 1 - \frac{2}{t^2 + 1} \]

\(t^2 + 1 > 0 \Rightarrow 0 < \frac{2}{t^2 + 1} < 2 \Rightarrow -1 < y < 1\)

\[t^2 = \frac{y + 1}{1 - y} > 0 \]

\[\Rightarrow t = \sqrt\frac{1 + y}{1 - y} \]

\[\Rightarrow x = \frac{1}{2}\ln\frac{1+y}{1-y} \]

则反函数为

\[y = \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}\quad x\in(-1, 1) \]

第二章

用\(\varepsilon-\delta\)语言证明\(x^2\)在\(0\)处的极限为\(0\)（直接构造）：

分析：

\[|x^2 - 0| = |x - 0|^2 > \varepsilon \]

证：

\(\forall \varepsilon > 0\)，取\(\delta = \sqrt\varepsilon\)则

\[0 < |x - 0| < \delta \]

那么

\[|x^2 - 0| < \delta^2 = \varepsilon \]

\(\square\)

用\(\varepsilon-delta\)语言证明\(\sqrt{x}\)在\(a\)处的极限是\(\sqrt{a}\)（一步放缩）：

分析：

\[|\sqrt x - \sqrt a| = \frac{|(\sqrt x - \sqrt a)(\sqrt x + \sqrt a)|}{\sqrt x + \sqrt a} \]

事实上目标是要把结果凑成只剩下\(|x - a|\)和其他常数，因此直接把分母放缩

\[\leq \frac{|x - a|}{\sqrt a} \]

证：

\(\forall \varepsilon > 0\)取\(\delta = \sqrt a \varepsilon\)

那么

\[0 < |x - a| < \delta \]

有：

\[|\sqrt x - \sqrt a| \leq \frac{|x - a|}{\sqrt a} \leq \frac{\delta}{a} = \varepsilon \]

\(\square\)

用\(\varepsilon - \delta\)语言说明\(\frac{x^2-1}{x^2-x}\)在\(1\)处的极限（分区间放缩）：

分析：

\[|\frac{x^2-1}{x^2-x} - 2| = |\frac{x-1}{x}| \]

这个时候限制\(|x - 1| < \frac{1}{2}\)（几何意义就是与极限对应点靠得足够近）

进而就有\(|x| > \frac{1}{2}\)

从而原式\(< 2|x - 1|\)

证：

\(\forall \varepsilon > 0\)取\(\delta = \min\{\frac{1}{2}, \frac{\varepsilon}{2}\}\)

就可以顺利地得到：

\[|\frac{x^2-1}{x^2-x} - 2| < 2|x - 1| < 2\delta = \varepsilon \]

\(\square\)

以上三种思路基本上就覆盖所有\(\varepsilon-delta\)语言的分析方式了