SPI(Standardized Precipitation Index)标准降水指数-原理

1.SPI原理概述

SPI计算原理是将某时间尺度(如1、3、6、12个月等)降水量的连续时间序列(最好是长期记录，一般最少30年)看作服从某种概率密度函数分布(如gamma分布)，然后推导出相应的累积概率函数，再通过累积概率函数转换为标准正态分布。转换之后，某时间尺度样本的SPI为：该样本降水量的累积概率所对应的标准正态分布的x轴的值。

例如：以3个月为时间尺度，使用1981-2010年30年的降水数据。计算2010年1月的SPI值。因为时间尺度是3个月，所以2010年1月的累积降水量被定义为2009年11月-2010年1月期间的总降水量，记作P；使用的时间序列为往年同期的降水量数据，即各年11月-1月的降水。首先按照原理，将时间序列数据假设为满足gamma分布g(x)，然后推导其累积概率函数H(x)，再转换为标准正态分布。然后，查找P对应的累积概率H(P)，然后查找与H(P)相同累积概率的标准正态分布所对应的x轴的值，即为SPI。示意图如下，左图为累积概率H(x)，右图为转换之后的标准正态分布。

2.SPI原理详解

2.1一些基本概念

1）概率密度函数(probability density function, PDF)

通俗来说，是描述变量落在某点(x=x0)上的概率，变量落在某区间(x1<x<x2)的概率是该区间的概率密度函数的积分。

2）累积概率(cumulative probability, CDF)

又称CDF，是概率密度函数的积分，如H(x0)表示变量x在(0,x0)区间内发生的概率，H(x0)=∫₀^x0g(x)

3）标准正态分布函数

期望μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。

 

 

 

 

4）概率密度分布变换

SPI是通过gamma分布转换为标准正态分布得到的，其转换过程就是通过累积概率函数(CDF)的等概率变换；在已知gamma分布(fX(x))和标准正态分布(fY(y))的条件下，求取二者之间的转换关系dx/dy，从而得到y=h(x)的关系，其中y值即为SPI，x值为样本的降水量。

现在已知一个随机变量 的概率密度为  , 现在我们令  , 现在我们要尝试求出  的概率密度函数  . 为了计算方便, 我们只考虑函数  是严格单调递增的情况, 平时我们需要求解的函数大部分都是满足严格单调递增的.

由概率分布函数定义可知:

对两边一起求导得:

这样, 我们成功计算出了  的概率密度函数。

2.2构建降水频率gamma分布函数g(x)

1）gamma分布推导

Γ函数是阶乘在实数上的推广，定义为：

根据定义，等式两边同除以Γ：

取积分中的函数作为概率密度，就得到了一个形式最简单的Gamma分布，其概率密度函数为：

若将公式 (∗)中的 x 替换为βt，则有下式成立：

于是得到Gamma分布的一般形式，概率密度函数为：

2）gamma分布函数构建

Thom(1966)发现gamma分布（一种概率密度函数）很适合气候降水的频率时序特征，如下图所示。（首先解释为什么使用gamma分布）

SPI中gamma分布定义：

 

 3）gamma分布α、β参数求解

在定义完gamma分布函数之后，需要求解其中的α形状参数和β尺寸参数，使用Thom(1966)提出的最大似然法来估算最佳的α与β值。

式中，x为降水时间序列的样本值，x¯为降水序列的平均值，n为时间序列的长度。

2.3构建降水累积概率函数H(x)

将上一步求得的α、β参数代入，则降水量x>0的累积概率函数G(x)为g(x)的积分： 

令t=x/β，则该等式变为：

因为gamma函数没有定义x>0，但实际降水可能为0(x=0)，所以实际降水累积概率函数为：

其中，q为降水量为0的概率，设m为降水时间序列中降水量为0的个数，则q=m/n。

至此，得到了降水的累积概率函数H(x)。其意义为：任选时间序列中的某样本数据，其降水量在(0,x)之间的概率为H(x)。

2.4H(x)等概率变换为标准正态分布函数

这一步是通过累积概率函数的等概率变换，建立了gamma分布与标准正态分布之间的转换关系，从而确定降水量与SPI之间的关系。

等概率变换即变量从一种分布（如gamma）转变为另一种分布（如标准正态分布），变换前后对应变量在两种分布中小于某个值的累积概率是不变的。

如Fig3.2所示，通过累积概率H(x)与转换后的标准正态分布的x轴上获取对应的SPI值。为更加方便的获取SPI（通过转化之后的图像获取太过繁琐），使用Abramowitz and Stegun (1965)提出的近似方法，求解概率密度H(x)与标准正态分布SPI的关系（实质是建立降水量x与SPI的关系，即概率密度分布变换中的y=h(x)关系）：

其中，c₀ = 2.515517, c₁ = 0.802853, c₂ = 0.010328, d₁ = 1.432788, d₂ = 0.189269, d₃ = 0.001308

2.5SPI与Z-score

SPI被认为是一种z分数(z-score)，因为对于转化后的标准正态分布，其μ=0，σ=1，带入z-score=(x-μ)/σ=SPI。z-score的实际意义为测量样本数据与样本总体均值相差多少个标准差；所以，SPI可被解释观测降水量为与长期降水均值偏离的标准差个数。

3.SPI应用

标准化降水指数（SPI）是一个广泛使用的指数，用于描述一系列时间尺度上的气象干旱的特征。在短的时间尺度上，SPI与土壤水分密切相关，而在长的时间尺度上，SPI可以与地下水和水库储存有关。SPI可以在气候明显不同的地区进行比较。

 

 

参考

SPI原理：

Edwards D C . Characteristics of 20th Century Drought in the United States at Multiple Time Scales. , 1997.

https://www.doc88.com/p-9798233006864.html?r=1

https://max.book118.com/html/2017/0309/94893982.shtm

z-score：

https://blog.csdn.net/qq_39482438/article/details/110873346

概率密度分布变换：

https://blog.csdn.net/bingfeiqiji/article/details/81908948

https://zhuanlan.zhihu.com/p/191487550

程序：

https://climate-indices.readthedocs.io/en/latest/