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6 希尔伯特变换与实信号的复数表示
6.1 实连续信号的复信号表示和希尔伯特变换
- Q: 对于实信号\(x(t)\)，如何证明\(x(t)=Re\{\int_0^{+\infty}2X(f)e^{i2\pi ft}df\}\)？
（即：把实信号写成了只含（）的某个复信号的（）部）
A: \(X(f)\)和\(X(-f)\)互为共轭，因此\(X(f)+X(-f)=2Re\{X(f)\},X(f)e^{i2\pi ft}+X(-f)e^{-i2\pi ft}= 2Re\{X(f)e^{i2\pi ft}\}\)
正频率成分，实
注：称\(\int_0^{+\infty}2X(f)e^{i2\pi ft}df\)即\(q(t)\)，称为实信号\(x(t)\)的复信号。
- Q: \(\delta(t)-1/i\pi t\)是怎么来的？
A: 把由实信号得到对应复信号的过程当成滤波，滤波器频谱容易得到，为\(sgn(f)+1\).
则滤波因子\(h(t)\)就是\(\delta(t) -1/i\pi t\)，特别注意这里是频域转到时域，所以（相比符号函数的频谱公式）\(1/i\pi t\)前出现负号。
- Q: 实信号、实信号的希尔伯特变换、实信号的复信号间有何关系？
A: 实信号的希尔伯特变换对应其复信号的虚部。因此\(实信号+希尔伯特变换=复信号,x(t)+\tilde x(t)=q(t)\).
- Q: 解说“90°相移”即\(H(f)=-i,f>0;H(f)=i,f<0\)，和之前滤波器频谱\(H_1(f)=2,f>0;H_1(f)=0,f<0\)的联系。
A: 实信号\(x(t)\)对应复信号\(q(t)\)，滤波器频谱\(H_1\)中恒为1的部分对应\(q\)实部，剩余部分\(sgn(f)\)对应\(q\)虚部。
但是，回忆对于复数\(a+bi\)，我们定义虚部为\(b\)（而不是\(bi\)），差了一个\(i\).
我们这里也做类似处理，把\(q\)的虚部\(\tilde x(t)\)单独拿出来考察（但形式上让\(\tilde x(t)\)成为实信号）
根据线性性质，为了时域除以\(i\)得到实信号，\(sgn(f)\)也要除以\(i\)，这就得到了\(H(f)=-i,f>0;H(f)=i,f<0\)，即“90°相移”
- Q: 正、逆希尔伯特变换公式相差负号在形式上和正、逆傅里叶变换公式相差的负号位置相同吗？简单解释希尔伯特变换中负号的来源。
\(\tilde x(t)\)的希尔伯特变换是什么？
A: 不相同。希尔伯特变换中负号加在前面，傅里叶变换中负号加在指数上。
负号的来源：相当于\(i * (-i)=1\)，即转90°再转回来。
更具体地，希尔伯特变换的频域乘以的是\(sgn/i\)，相当于往\(-i\)方向转。而其逆变换频域乘以的是\(i\cdot sgn\)，相当于往\(i\)方向转。
6.2 希尔伯特变换的例子
- Q: 对于没有重叠频段的低频信号\(b\)和高频信号\(g\)相乘，其希尔伯特变换为（）。证明思路是\(H(f)(B(f)*G(f))=\)（）（其中\(H(f)=sgn(f)/i\)）
A: \(b\tilde g\)，\(B(f)*(H(f)G(f))\)
注：自己想象一下卷积过程中的“滑动”，容易发现频谱卷积\(B*G=X\)的\(X(0)\)处一定没有\(B,G\)重叠（\(X(0)=0\)），正处只重叠\(G\)的正频率段，负处只重叠\(G\)的负频率段。但正处可能重叠\(B\)的负频率段。这就马上看出上式结论。
- Q: 对于上题，我们取\(g\)为高频的单频正弦波，而\(b\)为低频钟形波。什么叫做“高频”“低频”？以\(3\sigma\)原则为例。
A: 设\(x(t)=e^{-\beta^2 t^2}cos (2\pi f_0 t+\phi)\)，则其中钟形波成分\(e^{-\beta^2 t^2}\)的频谱为\(\frac {\sqrt\pi} {\beta} e^{-\pi ^2 f^2 /\beta ^2}\)，对照正态分布，得到这相当于\(\sigma = \beta/\sqrt 2 \pi\)的正态分布。因此钟形波频谱在\(3\sigma\)之外的地方近似为0，当\(f_0 >3\sigma\)时可以近似套用0.题。
注：因此本节例2就是例1和例3的综合应用（且做了近似）
- Q: 关于\(\sigma\)：工程中常说的\(\pm 10\)抖动，“峰谷值”(PV)和标准差\(\sigma\)有何关系？钟形波的傅里叶变换对标准差有什么要求？
A: 比如“正负10抖动”，这个10就是\(2.5\sigma\)或者\(3\sigma\)这种（并不是说结果百分之百在正负10之内），该例子中“峰谷值”也就是20. 实际上往往是统计出\(\sigma\)再计算出峰谷值。
没有要求。钟形波傅里叶变换是精确的。希尔伯特变换是近似的。
- Q: 工程实际中，\(a(t)cos(2\pi f_0 t + \phi(t))\)常常表示什么？
A: 一个单频信号，时不时有些振幅和相位抖动，且抖动频率不大（即\(a(t)cos\phi(t),a(t)sin\phi(t)\)都有截频\(f_1\)，其中\(f_1<f_0\). 从而可用希尔伯特变换）
6.3 连续和离散实信号的包络、瞬时相位和瞬时频率
- Q: 接上节3.，若认为\(cos\)内部的式子\(2\pi f_0 t + \phi(t)\)是瞬时相位，那瞬时频率如何用希尔伯特变换表示？
A: 瞬时相位正切可以用\(\tilde x,x\)相除表示。瞬时相位求导就是瞬时频率（即“位置和速度”关系）
- Q: 对解析信号\(q(t)\)，瞬时相位\(Im lnq\)得到瞬时频率\(Im (lnq)_t'\)是否必须学过复变函数才能理解？
A: 不需要。这里忽略复数域的代数结构，直接把\(lnq\)当成一元二维函数，用多变量微积分就能理解。
- Q: 对于实离散信号的希尔伯特变换，我们是把时域离散化了还是频谱离散化了？
A: 对时域离散信号变换，显然是对时域离散化。频域是截断。
- Q: 证明\(\frac {e^{i2\pi \Delta f}}\pi \sum \frac 1{m-1/2}e^{-i4\pi m\Delta f}\)在\([-1/2\Delta, 1/2\Delta]\)为阶梯函数\(sgn(f)/i\)的证明思路和证明什么式子等于\(\delta(t)\)的思路相同？
A: \(\sum e^{i2\pi n\Delta f}\). 都是考察某带限信号的傅里叶变换
- Q: 离散信号的瞬时频率可以和什么物理上概念类比？
A: 一小段时间的平均速度。
注：使用\([q(n\Delta) + q((n-1)\Delta)]/2\)估计\(q\)减小误差也是物理中常用的。
- Q: 对于\(h*h*x\)，其中\(h\)是（），考察卷积的（）律即可得离散信号希尔伯特反变换公式。
A: 离散希尔伯特滤波因子（即\(h(n\Delta)=0,n=0;h(n\Delta) = \frac{1-e^{i\pi n}}{n\pi},n\ne 0\)），结合
6.4 物理可实现信号的希尔伯特变换
- Q: 为什么本节只考虑离散单边信号？
A: 因为连续单边信号的希尔伯特变换问题等价于频谱为单边时希尔伯特变换问题。
- Q: 之前分别考察了频谱为正、频谱为正且带限。本节相当于考察频谱为正且（）。所以和前面的本质非常不同。
A: 离散（注：时域和频域对称。所以如果想都用频谱为正统一归类，就应该说“频谱为正且离散”）
- Q: 为什么说物理可实现信号的实部和虚部间有一定约束关系？我随便改变某个时间\(n\)对应信号的实部/虚部会怎么样？改变之后结果不还是离散物理可实现吗？
A: 该问题有误导性。是说离散物理可实现信号频谱的实部和频谱的虚部间有一定约束关系。
本质：频谱实部（作为频谱做逆傅里叶变换）积分得到的结果和频谱虚部（作为频谱做逆傅里叶变换）积分得到的结果之间有联系。
频谱实部是实数，频谱虚部也是实数。所以前述得到的两部分信号\(\alpha(t),\beta(t)\)都是共轭对称的。且根据物理可实现有\(\alpha+i\beta\)在\(t<0\)时都为0.
利用这些可以得到约束。
- Q: 对于实情况，原来两个共轭对称信号怎么就变成了一个偶信号，一个奇信号？
A: 共轭对称信号\(\alpha\)在\(\alpha\)实的特殊情况就是偶信号。
共轭对称信号\(\beta\)在\(\beta\)纯虚的特殊情况就是奇信号。
注：2.和3.问需要回忆：实信号的傅里叶变换是共轭对称信号。实偶信号对应实偶信号。实奇信号对应纯虚奇信号。
- Q: 离散物理可实现信号频谱实部和虚部间可以用一个简单的滤波互相转换吗？
A: 其实本质上和之前是类似的。只不过之前是考察\(1+sgn(f)\)，现在是考察\(2u(n)\).
\(2u(n)\)的傅里叶变换求起来比较麻烦。
另外边界\(t=0\)处也带来了和之前不同的一些麻烦。
- 比如\(x,\alpha,\beta\)的关系都相比之前更加复杂，主要就是在考虑\(t=0\)的问题
- 考察频谱实虚部的关系时，也遇到了“边界”问题。
- Q: 如何用本节证明单位阶跃信号的频谱公式的方法证明\(\delta\)函数的傅里叶展开？
A:
考虑\(\sum_{n=0}^\infty e^{int}\rho^n=1/(1-\rho e^{it}),\sum_{n= -\infty}^{-1}e^{int}\rho^{-n}=\rho e^{-it}/(1-\rho e^{-it})\)
两者相加得\(\frac{1-\rho ^2}{(1-\rho e^{it})(1-\rho e^{-it})}=\frac{1-\rho^2}{1-2\rho cost+\rho ^2}\)，只需证明该式“\(t=0\)附近极小段积分面积在\(\rho\to 1\)时趋向于定值”。这就是平凡的数分题。
习题
- Q: 用（）表示信号乘积的积分容易证明\(x,\tilde x\)能量相等且正交。以及：解析信号（频谱只有正分量）与解析信号相关为（）
A: 频谱（回忆“能量、功率”一节的能量等式或称帕塞瓦尔等式），0
- Q: \(\sum _{n=0}^\infty e^{-in\omega}= \pi \delta(\omega)+1/2-i/2\cdot cot (\omega/2)\)（正单边求和）与双边求和的结果有何联系？
A: 回忆\(\sum _{-\infty}^{\infty} e^{i2\pi n f} = Comb(f)\)（或\(\delta(f)\). 定义域不同。其实课本离散阶跃信号频谱处也提了这点：可以写成\(\mathbb R\)上周期函数）
则两者联系：\(\sum _负 e^{-in\omega} + \sum_正 e^{-in\omega}=2\pi \delta(\omega)+ 1\)
\(\sum_{-\infty}^{+\infty}e^{i2\pi nf} = \delta(f) = 2\pi \delta(\omega)\)
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