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7 Constraint propagation algorithms
- Q: 举例说明“Sometimes a CSP can already be solved solely by means of a constraint propagation algorithm”.
A: 对于具体例子有unifier问题，线性方程组等。
更抽象的有关于有向图“归纳”造instantiation的定理等。 - Q: 在propagation过程中，我们需要关注stabilizing结果的存在性（“收敛性”），唯一性，以及（）。
A: 算法的效率（“收敛速度”）（即：减少redundant/irrelevant applications）
7.1 Generic iteration algorithms
7.1.1
- Q: 为什么用偏序关系作为考察迭代的框架？
A: 迭代形成链，链内部往往有一定序关系，可证明收敛性等。
要有序关系，但不同链之间往往难以排成全序（如，对于笛卡尔积，定义：\(a\)逐元素都先于\(b\)，\(a\)才先于\(b\)），所以用偏序。 - Q: 为了证明一族有限个单调函数对于有最小元的偏序集的least common fixed point（最小公共不动点）可以由（）得到，只需归纳利用单调性。
这里的least是在偏序关系中的最小，定义是（），单调也是在偏序关系中的单调，定义是（）。
A: 对偏序集\(D\)最小元素\(\perp\)任意应用若干次\(f_{n_i}\)直至找到不动点
\(d\sqsubseteq e,\forall e\in D\)则\(d\)为最小元（“小于等于”一切元）
\(f(d)\sqsubseteq f(e),\forall d\sqsubseteq e\)则\(f\)为单调函数
注：这里的单调性是非常强的性质，它保证了应用后两个函数结果仍可以比较！这就在某种程度上绕过了考察偏序集的一些困难，从而导出了此命题。 - Q: 接上，保持单调，再加入（）和可交换条件，则可显式写出最小公共不动点为（）。
A: 幂等(idempotent)，\(f_1\cdots f_k(\perp)\)（当然，此处可任意交换函数复合的顺序）
注：可以看到幂等在此起了核心作用。看起来像是能“吸收”任何新复合进来的。 - Q: Semi-commutativity即“推入下标大的函数，结果变大”时，除了幂等和单调再加入（）条件才能推出和2.类似的结论，因为（）
结论（不是问条件）与2.不同的点是（）
A: inflationary（\(x\sqsubseteq f(x)\)）
从外往内交换越交换越大（而不是相等） 这只有一个方向 还需要inflationary给出另一个方向
最小公共不动点必须是\(f_1f_2\cdots f_k (\perp)\)，不能用其它顺序去复合函数 - Q: 类似于单调有界必有极限的思想，对于有限偏序集，考察（）（当然，单调等条件继承1.）的有限函数集合，不断迭代后一定能找到不动点。
如果想加强结论，使得这不动点确实是公共不动点从而套用1.，可以加入（）条件。
A: inflationary
regular（即如果\(f(d_m)\ne d_m\)则在\(step>m\)之后\(f\)至少被迭代过程使用了一次）
7.1.2
- Q: 考察计算最小公共不动点的算法。之前有关交换性的结论对应（）的做法，（）对应依次应用各个函数的做法。
而regular条件对应（）的做法。
A: 任意顺序应用所有函数
有关半交换性的结论
不断尝试应用函数，如果应用某个函数\(g\)导致\(f\)从\(f(d)=d\)变成\(fg(d)\ne g(d)\)了，就照顾regular条件而将\(f\)添加进待考察集合\(G\). (如果不产生这种效果即可直接删除\(g\)）当\(G\)空了就说明迭代完成。 - Q: 接上，关于“regular”的算法处，为什么我们要添加“多余”的函数进入\(G\)？
A: 精确计算哪些函数要添加可能花费过大。 - Q: 接上，“字典序”和“循环不变量”等证明算法正确性的用法此处是具体如何使用的？
A: 某量在循环中单调且“有界”或说有限（"well-foundedness"，没有无穷递降序列），就可确定最终一定“停在某个值”（“极限”）。
比如此处按字典序\((d,cardG)\)，可以论证\(d\)最后停留在某一不动点。
“循环不变量”：谓词\(\forall f\in F-G, f(d)=d\)是循环不变量，所以最终“极限”\(d\)确实是公共不动点。
7.1.3
- Q: 解说记号\((\perp_1,\cdots,\perp_n)\).
A: Cartesian product of the partial orderings中，每个分量都是最小元，则总体也是笛卡尔积的最小元。 - Q: 为什么要考虑函数“是否依赖于某个变量”（即：该变量的改变是否可能影响函数值）的性质？
A: 可以快速检测\(g(d)=d\)是否成立（这显然等价于对于\(g\)的"scheme"，\(g(d[s]) = d[s]\)）
可以快速检测\(f(g(d))=f(d)\)是否成立（这显然等价于\(f\)依赖于某个\(i\)，使得\(d[i]\ne g(d[i])\)）
就不需要依次检测每个变量，多了很多无谓比较。
注：这里两次用到\(g(d)\)，显然应该新引入变量\(d'\)存储\(g(d)\)，而不要重复计算。
7.2 From partial orderings to CSPs
- Q: 对于CSP问题，偏序集（分量）元素，公共不动点，函数，单调分别具体指什么？
A: 偏序集（每个分量）的元素是：定义域的子集或约束的子集（一元关系或多元关系），各个集合（关系）之间以“包含于”关系形成偏序
公共不动点：满足local consistency（无法再剪枝）
函数：“剪枝规则”
单调：剪枝规则“保持包含于关系” - Q: 最小元指的是空集嘛？
A: 如果按本书的偏序集不动点算法记号，则不是。是全集。
7.3 - 7.6
- Q: 对于node consistency，我们使用“交换性对应的算法”“半交换性对应的算法”还是“regularity对应的算法”？
A: 交换性对应的算法（因为node consistency的剪枝过程有交换性）。即以任意顺序应用一遍。 - Q: 对于arc consistency，我们使用哪种算法？
A: 没有交换性或半交换性。只能对有限情况，使用regular对应的算法。 - Q: 为什么有向的arc consistency就有了半交换性？
A: 假设总是拿编号大变量去剪编号小变量的定义域。
那么只有“拿3剪2，再拿2剪1”这样的结构会让1额外被多剪。
7.7 - 7.8
- Q: 对无向path consistency使用算法时，考察的函数集合是什么？
A: 对于每个三元组\(x,y,z\)，都有3个函数（3条规则） - Q: 如何理解"Note that in contrast to the Arc Algorithm Theorem we do not need to assume that the CSP is finite, but only that its binary constraints are finite."
A: 此处偏序集的元素是二元关系，而不是定义域。所以不要求定义域有限，而是二元关系有限。 - Q: 对于有向情况，如何理解\(V_{x,y}\)里只有5类元素，缺了一类？这个有向指的是dirctional path consistency嘛？
A: 确定剪了\((x,y)\)的二元关系，考察它可能影响的函数（关于\(x,y,u\)的函数）
\(x,u\)先后顺序不确定，\(y,u\)也不确定，所以各自对应了两类函数（即\(f^y_{x,u},f^y_{u,x},f^x_{u,y},f^x_{y,u}\).
但\(x,y\)先后顺序确定，故只对应一类函数\(f_{x,y}^u\)
这里的有向只是讨论\(x,y,u\)间关系。即实际操作中哪些转置哪些不转置。
“consistency”仍然是无向path consistency的定义，即剪每个二元约束，并不是像directional path consistency一样只剪“靠前”的二元约束。 - Q: 接上，directional path consistency可以带来（）性。待考察的函数集合是（）
A: 半交换
把一共\(C_n^3\)个函数排列成“四面体”，即“越来越小的一系列三角形”。前面是剪编号小的（依据编号大的）。即第一个是\(f_{x_1,x_2}^{x_n}\).
这样一来，所有非交换的情况肯定都是先应用后面的函数（先剪了编号大的，从而使得应用靠前函数依据编号大剪编号小受到影响）
7.9
- Q: k-consistency的不充要对构造算法有影响嘛？
A: 这个不充要性是“规则下封闭”不等价于“local consistency”。前者可以推出后者。而我们本章就是得到函数不动点（规则封闭），能推出local consistency. 所以不影响。 - Q: 为什么额外引入\(\frac {C_X}{C_X\cap \bar {C_X}}\)规则对应的那些函数？
A: 提升算法实际运行的效率，但不改变等价性。
7.11
- Q: 对于“同类”算法，规则集直接取并就可以保证算法收敛结果能（）
A: 同时满足多种local consistency - Q: 解说“This vast repertoire of operations is sufficient to describe the domain reduction rules that we considered so far”
A: 通过证明基本操作具有性质，操作间复合保持性质，构造出一系列满足性质的操作。
类似于“原始递归函数”等的思想。
具体地，思想类似于\(f(a)<f(b),g(a)<g(b),h(a_1,a_2)<h(b_1,b_2),h(f(a),g(a))<h(f(b),g(b))\)（其中所有涉及字母a的都小于对应的涉及字母b的） - Q: 解说前述某些算法的不确定性。
A: 某些“算法”的“select”等步不确定，所以并不是狭义定义下的算法。
实际运行中，根据数据结构不同（队列？哈希？），将具体地schedule它们（具体实现不同，效率和稳定性等可能不同）。 - Q: （为了效率）使用本章的算法一定要得到local consistent CSP嘛？
A: 不一定。比如中途fail直接停止。fail的那一刻不一定local consistent.
（但实际上你可以做一些多余的动作，比如对arc consistency，直接剪到全空，则trivially arc consistent了）
