7.25 solution

T1

dsu on tree 板子，记录子树内状态即可。

T2

猫树板子。

记 \(val_{i,j}\) 为 \(i,j\) 之间的最长边，可以找到前后缀的 \(val_{i,j}\)，把两端拼起来后跑 kruskal，复杂度 \(O(nh\log n+nh^2+100n)\)。

T3

floyed。

容易发现当颜色改变时会直接回收所有标记。

先用 \(min,+\) floyed 跑出不同色之间的最小距离，然后用 \(min,max\) floyed 跑从 \(1\) 到 \(n\) 的最短路。

T4

• 简单楼房重建套路题。
• 假设手上是一个无限长的序列 \(a\)，那么一个询问 \(s,t\) 就是要二分出最大的 \(r\) 使得：
  \( \sum_{i=s}^{r} a_i \max_{s \leq j \leq i} \{a_j\} \leq t \)
• 因此如果能用数据结构维护出：
  \( \sum_{i=1}^{r} a_i \max_{t \leq j \leq i} \{a_j\} \)
  就很容易解决。
• 为了用线段树维护上述信息，并支持区间加和区间赋值操作，需要维护以下三个量：
  \( \begin{align*} S_1(l,r) &= \sum_{i=1}^{r} A_i \cdot \max_{j=1}^{i} \{A_j\} \\ S_2(l,r) &= \sum_{i=1}^{r} \max_{j=1}^{i} \{A_j\} \\ S_3(l,r) &= \sum_{i=1}^{r} A_i \end{align*} \)
• $ S_3 $ 的维护较简单。$ S_2 $ 的合并逻辑如下：
  • 设 $ mx_{\text{lson}}, mx_{\text{rson}} $ 分别为左右子树的最大值。
  • 若 $ mx_{\text{lson}} \geq mx_{\text{rson}} $，则 $ S_2(l,r) = S_2(l,m) + (r-m) \cdot mx_{\text{rson}} $。
  • 否则需递归处理（详见下文）。
• 递归维护最大值 $ M $:
  • 若 $ M \geq mx_{\text{lson}} $，则左子树贡献确定，递归处理右子树。
  • 否则右子树贡献独立于 $ M $（可预计算），递归处理左子树。
• Pushup 操作复杂度为 $ O(\log n) $，单次线段树操作总复杂度为 $ O(\log^2 n) $。
• $ S_1 $ 的维护方式与 $ S_2 $ 类似。
• 对 $ r $ 的二分可在线段树上完成，单次询问复杂度 $ O(\log^2 n) $。

• 注：上述楼房重建的介绍可能不够清晰，可参考 洛谷 P4198。