图论选讲

广义串并联图

广义串并联图：（不存在四个结点，满足其两两之间都有一条路径相连，且这些路径互不相交）的图，如树，二分图，仙人掌，以及与这些特殊图相关的图。

操作：删一度点，缩二度点，叠合重边，根据题目不同转移有所区别。

可应用情况：\(m-n<=k\) 的联通图，可判断出的广义串并联图。

P6790 [SNOI2020] 生成树

经过认真分析发现原图是广义串并联图，考虑利用广义串并联图方法。

删一度点：直接删即可，因为这条边必选。

缩二度点：新边的方案数是两边乘积。

叠合重边：方案数相加。

可以用 set 实现。

P8426 [JOI Open 2022] 放学路 / School Road

需要通过观察发现若 \(1,n\) 所在的点双存在 \(K_4\) 子图则一定存在第二条路径，那么就可以运用广义串并联图方法。

删一度点：删就完了。

缩二度点：一条权值为两边之和的新边。

叠合重边：如果边长相同直接叠，否则说明这条边有第二种走法，边权为设为 \(-\infty\)。

若 \(1,n\) 点双不连通，考虑加一条 \(1,n\) 之间长度为 \(dis_{1,n}\) 的边，可以使其成为点双。

删边最短路

CF1163F Indecisive Taxi Fee

删边最短路板子。

先跑出一条最短路，考虑对于每一条不在最短路上的边 \(u,v\)，找到经过它的最短路径，其路径应为最短路上（1->x)->非最短路上（x->u->v->y）->最短路上（y->n），找到两端的点 \(x,y\)，相当于区间取 \(min\) 单点查询。

平面图最小割

平面图最小割=对偶图最短路

P4001 [ICPC-Beijing 2006] 狼抓兔子

板子 \(\times 1\)。