推式子

1. NFLS1015D

一个环，\(n\) 个点，\(m\) 个点染色，至多连续 \(k\) 个点被染色，求循环同构本质不同染色数。

\(\begin{alignedat}{3} \frac{\sum_{i=1}^nG(i)}{n}&=\frac{\sum_{i=1}^n f(\gcd(n,i),\frac{m\gcd(n,i)}{n})}{n}\\ &=\frac{\sum_{d|n,n|md} f(d,\frac{md}{n})\sum_{i=1}^n [\gcd(i,n)=d]}{n}\\ &=\frac{\sum_{d|n,n|md} f(d,\frac{md}{n})\sum_{i=1}^\frac{n}{d} [\gcd(i,\frac{n}{d})=1]}{n}\\ &=\frac{\sum_{d|n,n|md} f(d,\frac{md}{n})\phi(\frac{n}{d})}{n}\\ &=\frac{\sum_{d|n,d|m} f(\frac{n}{d},\frac{m}{d})\phi(d)}{n}\\ &=\frac{\sum_{d|\gcd(n,m)} f(\frac{n}{d},\frac{m}{d})\phi(d)}{n} \end{alignedat}\)

\(f(n,m)\) 表示 \(n\) 个点，\(m\) 个点染色，首尾相加和中间连续的至多有 \(k\) 个点，考虑有 \(n-m\) 个未染色的，那么插空写出生成函数，求 \([x^m]F(x)\) 即可。

\(F(x)=(\sum_{i=0}^k x^i)^{n-m-1}(\sum_{i=0}^k(i+1)x^i)\)，前半部分是中间的，后半部分是首尾的。

\(\begin{alignedat}{3} G(x)&=\sum_{i=0}^k(i+1)x^i\\ G(x)x+\sum_{i=0}^kx^i&=G(x)+(k+1)x^{k+1}\\ G(x)(1-x)&=\sum_{i=0}^kx^i-(k+1)x^{k+1}=\frac{1-x^{k+1}}{1-x}-(k+1)x^{k+1}\\ G(x)&=\frac{1-(k+2)x^{k+1}+(k+1)x^{k+2}}{(1-x)^2}\\ F(x)&=\frac{(1-x^{k+1})^{n-m-1}}{(1-x)^{n-m+1}}(1-(k+2)x^{k+1}+(k+1)x^{k+2}) \end{alignedat}\)

分式上下可以用二项式定理拆开。

\[(1-x^{k+1})^{n-m-1}=\sum_{i=0}^{n-m-1}\binom {n-m-1}{i}(-x^{k+1})^i \]

\[\frac{1}{(1-x)^{n-m+1}}=\sum_{i=0}^\infty\binom {n-m+i}{i}x^i \]

枚举分式上方的贡献，算出 \([x^m]F(x)\)。

2. P5233 [JSOI2012] 爱之项链

\(\begin{alignedat}{3} x&=\frac{\sum_{i=1}^MG(i)}{M}\\ &=\frac{\sum_{i=1}^MR^{\gcd(i,M)}}{M}\\ &=\frac{\sum_{d|M}R^d\sum_{i=1}^M[\gcd(i,M)=d]}{M}\\ &=\frac{\sum_{d|M}R^d\phi(\frac{M}{d})}{M} \end{alignedat}\)

\(O(d(M)\sqrt M)\) 求出戒指数量。

钦定项链有 \(i\) 对相邻，则 \(ans=\sum_{i=0}^n(-1)^ix^{n-i}\)，分奇偶进行等比数列求和即可。

3. CF1731F

\(\begin{alignedat}{3} F(n)&=\sum_{i=1}^n\sum_{l=0}^{i-1}\sum_{r=l+1}^{n-i}\binom{i-1}{l}\binom{n-i}{r}\sum_{j=1}^k j(j-1)^l(k-j+1)^{i-1-l}(k-j)^{r}j^{n-i-r}\ \end{alignedat}\)

可证是 \(n+1\) 次多项式（不会），然后拉插即可。

4. 卡特兰数通项公式

卡特兰数的封闭形式是 \(F(x)=\frac{1-\sqrt {1-4x}}{2x}\)。

\(\begin{alignedat}{3} F(x)&=\frac{1-(1-4x)^{\frac{1}{2}}}{2x}\\ &=\frac{1-\sum_{n=0}^\infty\binom {\frac{1}{2}}{n}(-4x)^n}{2x}\\ &=\frac{-\sum_{n=1}^\infty(-4)^n\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)\cdots(\frac{1}{2}-n+1)}{n!} x^n}{2x}\\ &=\frac{\sum_{n=1}^\infty 2^n\frac{(2n-3)!!}{n!} x^n}{2x}\\ &=\sum_{n=0}^\infty 2^n\frac{(2n-1)!!}{(n+1)!} x^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{2n!}{(n+1)!n!} x^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{\binom{2n}{n}}{n+1} x^n \end{alignedat}\)