字符串问题

Xenia and String Problem

考虑由于好串的定义，导致长度一定为 \(2^i-1\)，所以总数是 \(O(n\log n)\) 的，考虑像构建 st 表一样求出所有好串。

修改一个字符看做先删再加，删会导致所有包含这个字符的好串无效，加的贡献分为三种情况。

1. 左右合法且相等，中间字符出现次数过多。

2. 左右合法，但是不相等，发现只有左右的中心不同才可能有贡献，检验可以看左右 lcp 长度是否符合条件。

3. 左右有一个不合法，修改后可以相等，考虑左右的是否仅在那一个点出不同，可以求 lcp 检验。

答案就是不变的 ans 加上最多能使 ans 增加多少。

求 lcp 可以 SA 预处理，总复杂度 \(O(n\log n)\)。

Bosco and Particle

一个对撞机可以取它的最小循环节代替，每个对撞机是独立的，所以对于每个对撞机先求出向左和向右的次数的比值 \(\frac{a_i}{b_i}\)，并且找到最右的有用的对撞机，设一个空隙被经过的次数是 \(f_i\)，则 \(\frac{f_{i-1}}{f_i}=\frac{a_i}{b_i}\)。

因为 \(f_i\) 都是整数，所以以 \(f_0\) 为主元，得到最小的合法 \(f_0\)，递推出其它 \(f_i\)，加起来乘二得到答案。

Fedya the Potter Strikes Back

对于每一个新加的字符，算出包含它的 border 的贡献，加上原来的即可。

求 border 用 kmp，由于每次最多加入 \(1\) 个 border，所以总数是 \(O(n)\)，接下来考虑如何快速定位需要删去的 border。

一个 border 会被删去当且仅当它前半部分后面的字符不等于 \(c\)，所以记录 \(top_i\) 表示第 \(i\) 个 border 前第一个与它下一个字符不同的 border 是第几个，均摊 \(O(n)\)。

border 的贡献是区间 \(w_i\) 最小值，所以用单调栈维护，每次将剩余贡献大于 \(w_i\) 的 border 贡献调整，因为一次会合并所有贡献大于 \(w_i\) 的数，所以用 map 维护均摊 \(O(n\log n)\)，删 border 的时候要记得在 map 中减去。

答案可能爆 long long，分成两部分存储即可。

Twilight and Ancient Scroll

将每一类字符串排序后，有一个显然的前缀和优化 dp 做法，因为需要比较两个不同类的字符串的大小，所以用一个指针扫，字符串哈希和二分，判断大小。

同类串排序的方法参照 [SNOI2019]字符串。

The Sum of Good Numbers

我们知道一定有一个数的位数大于等于 \(|m|-1\)，所以分三种情况。

1. 两个数位数都是 \(|m|-1\)，直接扔到 ans 里。

2. 前一个是 \(|m|\)，可以找前一个与 m 的 lcp，后一个的长度也就确定了。

3. 后一个是 \(|m|\) 同理。

拿出 ans 中每个三元组进行 check，可以用哈希，因为是 CF 题，所以七重模数大哈希就行了。

Reverses

把 \(a,b\) 交叉串连得到 \(c\)，发现相当于将 \(c\) 划分为偶数回文串的最小贡献。

建出 PAM，回文串长度为 \(2\) 的时候特判，对于每个等差链上维护最佳转移点，转移时暴力跳链，复杂度 \(O(n\log n)\)。

Palindrome Addicts

离线，转换为区间查询本质不同回文串，原题是 Loj6070。

每一个新的回文串会对前面一段区间有贡献，然后发现一条等差链上的串的贡献形成了一段区间，需要用线段树找左端点，发复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。

原题因为强制在线，所以用的是主席树，这里可以改为树状数组，但是发现查询的左端点单调向右，所以可以换一个指针扫。

虽然仍是 \(O(n\log^2 n)\)，但是现在能过了。

Boboniu and Banknote Collection

每次遇到一个 \(A\overline{A}A\) 就合并成一个 \(A\) 一定不劣，于是最后剩下一个不含有 \(A\overline{A}A\) 的串，预处理折前缀能折多少次，然后暴力折后缀，复杂度 \(O(n\log n+n\sqrt n)\)。