CF2069C Beautiful Sequence 解题报告

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题目大意

有一个只有 \(1、2、3\) 组成的序列 \(a\)，找漂亮子序列（对于非首元素，左边都有比它小的元素，非尾元素，右边都有比它大的元素）的个数，答案对 \(998244353\) 取模。

解题思路

对于只有 \(1、2、3\) 组成的序列，不难想出这个漂亮子序列的形式：首元素是 \(1\)，尾元素是 \(3\)，中间必须全是 \(2\)。

对于每一个 \(1\)，遍历它后面的这个序列时，当它遇到 \(3\) 时，它和这个 \(3\) 对答案的贡献为 \(2^{cnt2}-1\)（\(cnt2\) 为当前 \(1\) 和当前 \(3\) 之间的 \(2\) 的个数）。则这个 \(1\) 对答案的总贡献为

\[\sum_{i=1}^{n}[a_i=1]\sum_{j=i+1}^{n}[a_j=3](2^{cnt2_{i,j}}-1) \]

其中 \([bool]\) 为这个布尔表达式的值。

显然这个式子是需要 \(n^2\) 的复杂度实现的，如何简化时间复杂度呢？

考虑将第一个 \(1\) 所贡献的答案求出为 \(ans1\)，在遍历时想要在 \(ans1\) 的基础上进行运算得出后面的 \(1\) 对答案的贡献：

• 用一个 \(3\) 的个数的后缀 \(cnt3\) 代表 \(a_i\) 后面的 \(3\) 的个数，显然每遇到一个 \(3\)，\(cnt3\) 的个数减一；
• 每遇到一个 \(2\)，对于这个 \(2\) 后面的每个 \(3\)，它对答案的贡献都要从 \(2^{cnt2}-1\) 变为 \(2^{cnt2-1}-1\)，操作为 \(-1\) 再 \(\times \frac{1}{2}\)。则遇到这个 \(2\)，对 \(ans1\) 的总变化为 \(-cnt3\) 再 \(\times \frac{1}{2}\)。
• 每遇到一个 \(1\)，此时的 \(ans1\) 就是它对答案的变化，直接加到答案上即可。

预处理求出 \(ans1\) 和 \(cnt3\) 的时间复杂度为 \(O(n)\)，遍历序列的复杂度为 \(O(n\log m)\)，其中 \(m\) 为模数 \(998244353\)。

总时间复杂度 \(O(n\log m)\)。

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mod 998244353
using namespace std;
int n;
int a[200005]; 
int re()//快读 
void wr(int x)//快写 
int ksm(int a,int b)//快速幂 
{
    int ans=1;
    for(;b;a*=a,a%=mod,b>>=1)
        if(b&1)
            ans*=a,ans%=mod;
    return ans;
}
signed main(){
    int T=re();
    while (T--)
    {
        int n=re(),ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            a[i]=re();
        int cnt2=0,cnt3=0;
        int ans1=0,pos=n;//pos为第一个1的位置 
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(a[i]==1)
            {
                pos=i;
                break;
            }
        for(int i=pos;i<=n;i++)
            if(a[i]==2)
                cnt2++;
            else if(a[i]==3)
            {
                ans1+=ksm(2,cnt2)-1;//这个3对答案的贡献 
                ans1%=mod;
                cnt3++;
            }
        ans+=ans1;
        for(int i=pos+1;i<=n;i++)
            if(a[i]==2)//遇到2 
                ans1-=cnt3,ans%=mod,ans+=mod,ans%=mod,ans1*=ksm(2,mod-2),ans1%=mod;
            else if(a[i]==1)
                ans+=ans1,ans%=mod;
            else
                cnt3--;//遇到3 
        wr(ans),puts("");
	}
    return 0;
}