同余最短路

常常用于解决这样一类问题：

给定n个整数，每个整数可以取任意多次，询问他们能凑出的数的信息。

不如说是一个小 \(trick\) 。对于一些数 \(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\) ，考虑 \(a_{1}\) （也可以是最小的数以降低时间与空间复杂度）的所有同余类 \([x]\) ，一旦可以使用 \(a_{2},\dots,a_{n}\) 凑出 \([x]\) 中的某个数，那么 \([x]\) 中的每个大于等于 \(x\) 的数都可以凑出，因为可以无限加 \(a_{1}\) 。因此只要我们知道每个同余类中能被凑出的最小数，就可以解决问题。设模 \(m\) 同余类 \([x]\) 中能凑出的最小数是 \(d\) ，则在 \([0,r]\) 中能凑出的 \([x]\) 中的数的个数为 \(\frac{r-d}{m}+1\) 。（前提是 \(r\geq d\)）

题目1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define inf (1ull<<63)-1
#define pii pair<int,int>
const int N=5e5+5;

int tot=0,h,x,y,z;
int hea[N],d[N],v[N];
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii>>q;//小根堆
struct edge
{
    int next,to,dis;
}edge[N];
void add(int x,int y,int w)//起点，终点，权值
{
    edge[++tot]={hea[x],y,w};
    hea[x]=tot;
}
//堆优化的dijkstra
void dijkstra()
{
    for(int i=0;i<x;i++) d[i]=inf;
    d[0]=0;
    q.push({0,0});
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.top().second;
        q.pop();
        if(v[x]) continue;
        v[x]=1;
        for(int i=hea[x];i;i=edge[i].next)
        {
            int y=edge[i].to;
            if(d[y]>d[x]+edge[i].dis)
            {
                d[y]=d[x]+edge[i].dis;
                q.push({d[y],y});
            }//松弛操作，插入堆
        }
    }
}
signed main()
{
    cin>>h>>x>>y>>z;
    h--;
    for(int i=0;i<x;i++)
    {
        add(i,(i+y)%x,y);
        add(i,(i+z)%x,z);
    }
    dijkstra();
    int ans=0;
    for(int i=0;i<x;i++) if(h>=d[i]) ans+=(h-d[i])/x+1;
    cout<<ans<<endl;
}

题目2 稍微变形，要凑出 \(k\) 的倍数（模 \(k\) 为0），即 \([0]\) 代价最小的数。而代价可以看成 \(+1\) 与 \(\times 10\) ，两者分别对应 \(1\) 与 \(0\) 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define inf (1ull<<63)-1
#define pii pair<int,int>
const int N=5e5+5;

int tot=0,k;
int hea[N],d[N],v[N];
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii>>q;//小根堆
struct edge
{
    int next,to,dis;
}edge[N];
void add(int x,int y,int w)//起点，终点，权值
{
    edge[++tot]={hea[x],y,w};
    hea[x]=tot;
}
//堆优化的dijkstra
void dijkstra()
{
    for(int i=0;i<k;i++) d[i]=inf;
    d[1]=1;
    q.push({1,1});
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.top().second;
        q.pop();
        if(v[x]) continue;
        v[x]=1;
        for(int i=hea[x];i;i=edge[i].next)
        {
            int y=edge[i].to;
            if(d[y]>d[x]+edge[i].dis)
            {
                d[y]=d[x]+edge[i].dis;
                q.push({d[y],y});
            }//松弛操作，插入堆
        }
    }
}
signed main()
{
    cin>>k;
    for(int i=0;i<k;i++)
    {
        add(i,(i+1)%k,1);
        add(i,i*10%k,0);
    }
    dijkstra();
    cout<<d[0]<<endl;
}

特别的是，由于本题所建图具有特殊性，即边权中只有 \(0/1\) ，所以此题还可以使用 \(01bfs\) 将时间复杂度从上述 \(dijkstra\) 代码的 \(O(nlogn)\) 优化到 \(O(n)\) 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define db double
#define il inline
#define x first
#define y second
#define endl '\n'
const int N=2e5+5;
const int mod=998244353;
vector<pii>g[N];
int vis[N];
void solve()
{
    int k;cin>>k;
    for(int i=0;i<k;i++)
    {
        g[i].push_back({(i+1)%k,1});
        g[i].push_back({i*10%k,0});
    }
    deque<pii>q;
    q.push_back({1,1});
    while(q.size())
    {
        auto [v,w]=q.front();
        q.pop_front();
        if(vis[v]) continue;
        vis[v]=1;
        if(v==0) 
        {
            cout<<w<<endl;
            return;
        }
        q.push_back({(v+1)%k,w+1});
        q.push_front({v*10%k,w});
    }
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T=1;//cin>>T;
    while(T--) solve();
    return 0;
}

题目3 跳楼机的升级版。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define inf (1ull<<63-1)
#define pii pair<int,int>
const int N=6e6+5;

int tot=0,n,l,r;
int a[N],amin=1e6;
int hea[N],d[N],v[N];
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii>>q;//小根堆
struct edge
{
    int next,to,dis;
}edge[N];
void add(int x,int y,int w)//起点，终点，权值
{
    edge[++tot]={hea[x],y,w};
    hea[x]=tot;
}
//堆优化的dijkstra
void dijkstra()
{
    for(int i=0;i<amin;i++) d[i]=inf;
    d[0]=0;
    q.push({0,0});
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.top().second;
        q.pop();
        if(v[x]) continue;
        v[x]=1;
        for(int i=hea[x];i;i=edge[i].next)
        {
            int y=edge[i].to;
            if(d[y]>d[x]+edge[i].dis)
            {
                d[y]=d[x]+edge[i].dis;
                q.push({d[y],y});
            }//松弛操作，插入堆
        }
    }
}
int col(int x)
{
    int ans=0;
    for(int i=0;i<amin;i++) if(x>=d[i]) ans+=(x-d[i])/amin+1;
    return ans;
}
signed main()
{
    cin>>n>>l>>r;
    int b;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        cin>>a[i];
        if(a[i]) amin=min(amin,a[i]);
    }
    for(int i=0;i<amin;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            add(i,(i+a[j])%amin,a[j]);
    
    dijkstra();
    cout<<col(r)-col(l-1)<<endl;
}