随笔分类 - 欧拉工程题解
摘要：欧拉计划是一个在线解题网站，题目以各类数学问题为主，通常需要结合一定的数学与编程知识，写出适当的程序求解问题(详细介绍可以参见我的文章)。相比于力扣等刷题网站，欧拉计划上的题目有着更丰富的知识背景，在解答题目的过程中常能学习新的数学与算法知识，享受解题愉悦的同时也能颇有收获。 在我的解题过程中，我尽
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摘要：本站所有文章均已迁移至https://pe.metaquant.org，敬请访问。
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摘要：比较像$2^{11}$和$3^7$这样用指数形式表示的数并不困难，因为任何计算器都可以确认： $$ 2^{11}=2048 $$ 然而，确认$632382^{518601} 519432^{525806}$就要困难得多，因为两个数都包含三百万位数。文本文件 "base_exp.txt" 中包含一千行
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摘要：在下面的五乘五的矩阵中，从左上角到右下角并且每次只能向右和向下移动的的最小的路径之和是2427，路径正如图中红字所标示： $$ \begin{pmatrix} \color{red}{131} & 673 & 234 & 103 & 18\\ \color{red}{201} & \color{re
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摘要：众所周知如果一个整数的平方根不是一个整数，那么这个平方根就是一个无理数，这种平方根的小数表示是无限不循环的。二的平方根是$1.41421356237309504880...$，它的前一百位数字的和是475。对于前一百个自然数，如果它的平方根是无理数，求这些无理数的小数表示的前一百之和的和。 分析：计
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摘要：网上银行经常使用的一种安全措施是向用户询问其密码中的三个随机字符。例如，如果密码是531278，银行可能会问用户密码中的第二个、第三个和第五个字符是多少，正确的回复应该是317。文本文件 " keylog.txt " 包含了五十个成功的登录尝试，假设其中的三个字符总是按顺序出现的，通过分析这个文件推
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摘要：用$p(n)$表示$n$个硬币分成不同的组的总的方法数。例如，五个硬币分组的方式刚好有七种，则$p(5)=7$。求使得$p(n)$整除一百万的最小的$n$值。 分析：这道题实际上和第七十六题是类似的，本质都是求整数分拆的方法数问题，区别主要在于：(1)这里求的分拆方法数比第七十六题的要多一，因为这里
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摘要：把十写成小于它的素数之和总共有五种不同的方法： $$ \begin{aligned}&7 + 3\\&5 + 5\\&5 + 3 + 2\\&3 + 3 + 2 + 2\\&2 + 2 + 2 + 2 + 2\end{aligned} $$ 求第一个使得其表达成素数之和超过五千种方法的数。 分析：这
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摘要：将五表示成整数之和总共有六种方式： $$ \begin{aligned}&4 + 1\\&3 + 2\\&3 + 1 + 1\\&2 + 2 + 1\\&2 + 1 + 1 + 1\\&1 + 1 + 1 + 1 + 1\end{aligned} $$ 将一百写成至少两个正整数之和总共有多少种方式？
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摘要：把一根线弯折成直角三角形，这个直角形的每条边都是整数，并且弯折的方法仅有一种，满足以上条件的最小的线的长度是十二，如下长度也满足这个性质： $$ \begin{aligned}&12：(3,4,5)\\&24:(6,8,10)\\&30:(5,12,13)\\&36:(9,12,15)\\&40:(
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摘要：我们都知道数字145各位数的阶乘之和等于这个数本身，即： $$ 1！+4！+5！=1+24+120=145 $$ 另外一个数169可能大家知道的不多，它可以产生一个返回到自身的最长链条，事实上总共只有三个数有这样的性质： $$ \begin{aligned}&169 → 363601 → 1454
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摘要：对于分数$n/d$，其中$n,d$均为正整数，如果$n $$ \frac{1}{8},\frac{1}{7},\frac{1}{6},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{2}{7},\frac{1}{3},\frac{3}{8},\frac{2}{5},\frac{3}{7}
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摘要：对于分数$n/d$，其中$n,d$均为正整数，如果$n $$ \frac{1}{8},\frac{1}{7},\frac{1}{6},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{2}{7},\frac{1}{3},\frac{3}{8},\frac{2}{5},\frac{3}{7}
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摘要：对于分数$n/d$，其中$n,d$均为正整数，如果$n $$ \frac{1}{8},\frac{1}{7},\frac{1}{6},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{2}{7},\frac{1}{3},\frac{3}{8},\frac{2}{5},\frac{3}{7}
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摘要：欧拉函数$\varphi(n)$计算小于$n$的自然数中和$n$互质的数的个数，比如1, 2, 4, 5, 7和8都小于9并且和9素质，因此$\varphi(9)=6$。1被认为和所有的正数素质，所以$\varphi(1)=1$。 有趣的是，$\varphi(87109)=79180$，可以看到87
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摘要：欧拉函数$\varphi(n)$计算小于$n$的自然数中和$n$互质的数的个数，比如1, 2, 4, 5, 7和8都小于9并且和9素质，因此$\varphi(9)=6$。下表列示了小于等于十的数的欧拉函数值： 可以看到对于$n\le10$当$n=6$时$n/\varphi(n)$取得最大值，求对于$
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摘要：考虑下面这个神奇的三解形环，六个环中填了一至六六个数字，其中每一排相加都等于九： 按顺时针方向并且从最小的外部节点所在的一排开始(这里是4, 3, 2)，每一个结果都是唯一的。比如，上面的图对应的结果是{4,3,2; 6,2,1; 5,1,3}。有八种可能的方式来完成上面这个三角形环，对应四个不同的
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摘要：从以下这个三角形的顶部开始，向相邻的下一行的数字移动，经过之数所能得到的最大的和为23，即：$3+7+4+9=23$ $$ 3\\ 7\quad4\\ 2\quad4\quad6\\ 8\quad5\quad9\quad3 $$ 对于文本文件中包含的一百行的三角形(见数据文件ep67.txt)，求其
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摘要：考虑如下形式的二次丢番图方程： $$ x^2 Dy^2=1 $$ 例如，当$D=13$，该方程的最小正整数解是$649^2 13\times180^2=1$。不难发现，当$D$是完全平方数时，这个方程没有正整数解。对于$D=\{2,3,5,6,7\}$，我们可以找到如下最小正整数解： $$ \beg
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摘要：二的平方根可以写成如下无限连分数的形式： $$ \sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + ...}}}} $$ 这个无限连分数可以被记为$\sqrt{2} = [1; (2)]$，其中$(2)$表示2
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