Project Euler 75: Singular integer right triangles

把一根线弯折成直角三角形，这个直角形的每条边都是整数，并且弯折的方法仅有一种，满足以上条件的最小的线的长度是十二，如下长度也满足这个性质：

\[\begin{aligned}&12：(3,4,5)\\&24:(6,8,10)\\&30:(5,12,13)\\&36:(9,12,15)\\&40:(8,15,17)\\&48:(12,16,20)\end{aligned} \]

相反，有些长度比如说20就无法将其弯折成整数直角三角形，而另有一些长度却可以弯折成多个整数直角三角形，比如对于长度为120的线条可以弯折成三个整数直角三角形：

\[120:(30,40,50), (20,48,52), (24,45,51) \]

给它长度\(L\)且\(L\le1,500,000\)，仅能形成一个整数直角三角形的\(L\)数量是多少？

分析：和这道题类似的题目，我们之前已经碰到过两次，分别是第九题和第三十九题，都涉及到求解在给定周长的情况下，满足条件的整数直角三角形的解的个数。在第九题中，我们给出了两种解题思路，一种是基于变量代换并利用整除性质的方法，另一种则是利用欧几里德公式的思路。对于这道题我们仍然可以尝试这两种思路，事实表明第一种思路由于效率太低已经无法在要求时间内得到答案，所以只能采用第二种思路。

回忆一下欧几里德公式，假设\(m>n>0,gcd(m,n)=1\)且\(m,n\)不都为奇数，则\(m,n\)可以通过欧几里德公式形成一个本原勾股三元数\((a,b,c)\)，其中\(a,b,c\)两两互质，\(a\)为长的直角边，\(b\)为短的直角边，\(c\)为斜边，则有：

\[a=m^2-n^2,\ b=2mn,\ c=m^2+n^2 \]

对本原勾股三元数的三个元素同时乘以\(k(k\ge1)\)，形成的三元数\((ka,kb,kc)\)也是勾股三元数。通过以上公式，易知勾股三元数的周长为：

\[p=ka+kb+kc=k(a+b+c)=2km(m+n) \]

因此我们只要得到了一组本元勾股三元数的周长，就可以得到其它勾股三元数的周长。据此我们可以列出所有周长小于特定值的勾股三元数，知道某个特定周长对应几个勾股三元数，我们关心是的那些只有一组勾股三元数的周长的个数。据题意，周长最大只能为一百五十万且\(m<m+n\)，则有：

\[2km(m+n)\le1500000\Rightarrow m\le \sqrt{1500000/2k}\le \sqrt{1500000/2}=\sqrt{750000}\approx866 \]

则我们可以据此搜寻范围内的\((m,n)\)值，计算相应的整数直角三角形的周长，并计算各个周长出现的次数，返回只出现了一次的周长的个数，即为题目所求。

# time cost = 720 ms ± 18.5 ms

from math import gcd
from collections import Counter

def main(N=1500000):
    limit,arr = int((N//2)**0.5)+1,[]
    for m in range(2,limit):
        for n in range(1,m):
            if (m+n)%2 == 1 and gcd(m,n) == 1:
                p,k = 2*m*(m+n),1
                while k*p <= N:
                    arr.append(k*p)
                    k += 1
    c = Counter(arr)
    return len([x for x in c.values() if x==1])