第五章:向量运算

第1节:零向量

1.零向量的概念

  对于任意向量x,都有x+y=x,则x被称为零向量。例如,3D零向量为[0 0 0]。零向量非常特殊,因为它是唯一大小为零的向量,并且唯一一个没有方向的向量。

第2节:负向量

1.负向量的概念

  对于向量x,如果x+(-x)=0,则-x就是负向量。

2.负向量的运算法则

  

  将此法则应用到2D,3D,4D中,则

  -[x y] = [-x -y]

  -[x y z] = [-x -y -z]

  -[w x y z] = [-w -x -y -z]

3.负向量的几何解释

  向量为负表示将得到一个和原向量大小相等,方向相反的向量。

第3节:向量的模

1.向量的模的概念

  所谓的向量的模就是指向量的大小或者说长度。

2.向量的模的运算法则

  在线性代数中,向量的模通常用在向量两边各加两条竖线的方式表示,如||v||,表示向量v的模。向量的模的计算公式如下:

  

  对于2D,3D向量的如下

    

第4节:标量与向量的运算

1.运算法则

  虽然标量与向量不能相加减,但是可以相乘,至于标量与向量的除法可以看做乘以倒数。

  

  对于2D,3D向量的如下

  

2.几何解释

  向量乘以标量或者除以标量,相当于以因子k来缩放向量的长度。

第5节:标准化向量

1.标准化向量的概念

  所谓的标准化向量就是单位向量,就是向量的长度为1的向量。有时候也称作为法线。

2.运算法则

  对于任意非零向量v,都能计算出一个和v方向相同的单位向量n,这个过程被称作为向量的“标准化”,要标准化向量,将向量除以它的大小(模)即可。

  

第6节:向量的加法和减法

1.向量的加法和减法的前提

  如果两个向量的维数相同,那么他们能够相加减,运算结果的向量的维数和原向量相同。

2.运算法则

  向量的加法等于两个向量的分量相加,向量的减法相当于加上一个负向量。

  

3.几何解释

  向量的加法和减法引导出了三角形法则,即将向量的首尾相连就会得到加法的结果,如下

  

第7节:距离公式

1.距离公式的推导

  通过上面的三角形原则,我们可以发现,通过两个向量的加减可以得到第三个向量,我们将这个过程逆置,如果知道了两点的距离,如何求出其距离,我们可以利用向量的减法实现。

2.运算公式

  在3D中,已知两点a,b,求两点之间的距离d?我们可以将a,b两点看做向量,然后b-a就是向量d,然后我们再计算向量d的模就是两点间的距离

  

  求出向量d后,再求d的模就是两点的距离

  

第8节:向量的点乘

1.基本概念

  标量可以和向量相乘,向量也可以和向量向量相乘,这就叫点乘,也叫做内积。标量与向量相乘不可以写点,向量与向量相乘必须要写点,向量的点乘优先级高于向量的加减法。注意:向量点乘后的结果是标量

2.运算法则

  注意:向量点乘后的结果是标量,不再是向量。

  

  应用到2D,3D中为

  a·b = axbx + ayby

  a·b = axb+ ayby+ azbz

3.几何解释

  向量的点乘描述的是两个向量的相似程度,即两个向量之间的夹角的大小

  向量的点乘的集合运算法如下,向量的点乘结果与cos函数有关,当两个向量垂直时,向量的点乘结果为0

  

第9节:向量的投影

1.基本概念

  给定两个向量v和n,能将v分解成两个分量,一个是垂直于向量n,一个平行于向量n,平行于向量n的向量我们称为在向量n上的投影。

  

2.投影的求解

  因为向量n平行于投影向量,所以可以求出向量n的单位向量再乘以投影的模,就可以得到投影向量,如下

  

  我们接下来求投影的模即可,我们可以根据三角函数的余弦公式来求出投影的模

  

  代入投影的模就可以求出投影向量

  

3.垂直向量的求解

  根据三角形法则,可以轻易求出垂直的向量

  

第10节:向量的叉乘

1.基本概念

  两个向量的叉乘得到是向量,且这个向量垂直于原来的两个向量。向量的叉乘只可以运用在3D向量中。

  

2.数学运算公式

  

3.几何运算公式

  向量叉乘的结果向量的长度与两个向量的夹角有关,且成正弦函数关系,如果向量a和b是平行关系,则叉乘的结果为0,因为sin0为0

  

4.向量叉乘方向的判断

  向量的叉乘是通过右手定则来判断结果向量的方向的。伸出右手,四指弯曲符合向量叉乘的顺序,那么大拇指就是叉乘后结果向量的方向。如下图axb,右手四指弯曲方向从a到b,大拇指方向向上就是叉乘结果向量的方向。

  

  

 

posted @ 2017-02-10 21:48  MetalSteel  阅读(...)  评论(...编辑  收藏