CF825F String Compression题解

思路

容易想到是个动态规划。首先设 \(f_i\) 表示字符串前 \(i\) 个字符所组成的字符串的答案。状态定义好了，接下来就是考虑如何转移了。因为由 \(f_i\) 可以得到所有 \(f_j\)，其中 \(i+j\le len\)，转移方程为 \(f_i=f_j+x\)，其中 \(x\) 为 字符串 \(i+1\) 至 \(j\) 的最优压缩。

接下来只要把如何求最优压缩解决了这道题就做出来了。考虑暴力求解，随便选择一个前缀 \(T\) 遍历整个字符串，看 \(T\) 是否是原字符串的循环串。如何优化呢？我们要做的事情就是找一个最长前缀 \(T\)，使得字符串 \(T\) 是原字符串的循环串。有没有感觉似曾相识？对了，就是对字符串求一遍 KMP 的 border 数组。

所以转移方程就出来了 $f_{i + k} = \min(f_{i + k}, f_i + (k - nxt_k) + sum) $。

这道题也就做出来了，具体参见代码。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[100010];
int nxt[8010];
char s[8010], t[8010];
void kmp(char t[])
{
    memset(nxt, 0, sizeof(nxt));
    int j = 0;
    nxt[1] = 0, nxt[0] = 0;
    int len = strlen(t + 1);
    for (int i = 2; i <= len; i++)
    {
        while (j && t[i] != t[j + 1])
            j = nxt[j];
        if (t[i] == t[j + 1])
            j++;
        nxt[i] = j;
    }
}
int main()
{
    cin >> s + 1;
    int len = strlen(s + 1);
    for (int i = 1; i <= len; i++)
        f[i] = i + 1;
    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        memset(t, 0, sizeof(t));
        int ss = 0;
        for (int j = i + 1; j <= len; j++)
        {
            t[++ss] = s[j];
        }
        kmp(t);
        for (int k = 1; k + i <= len; k++)
        {
            if (k % (k - nxt[k]) == 0)
            {
                int cnt = k / (k - nxt[k]), sum = 0;
                while (cnt)
                    sum++, cnt /= 10;
                f[i + k] = min(f[i + k], f[i] + (k - nxt[k]) + sum);
            }
            else
                f[i + k] = min(f[i + k], f[i] + 1 + k);
        }
    }
    cout << f[len];
    return 0;
}