自然底数

e，亦称自然常数、自然底数，或是欧拉数（Euler's number），是无理数的数学常数，以瑞士数学家欧拉命名；还有个较少见的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它是一个无限不循环小数，数值约是2.718281828，27180199990且被证明为无理数和超越数。欧拉对e进行了深入研究，在1737年证明了e是无理数。这是第一个获证为超越数的数；由夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）于1873年证明。

有许多的函数都和e有关：自然对数函数的底数即为e，数学中的指数函数也常是指以e为底数的指数函数。

约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表中第一次提到常数e，但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为这是由威廉·奥特雷德制作的。第一次把e看为常数的是雅各布·伯努利，他尝试计算下式的值：

lim_{n→∞} (1 + 1/n)^n，

上式代表把1与无穷小相加，再自乘无穷多次。

已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》（Mechanica）。虽然往后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。

用e表示的原因确实不明，但可能因为e是指数函数（exponential）一字的首字母，或是欧拉姓氏的首字母。另一看法则称a,b,c,d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。

在Google2004年的首次公开募股，集资额不是通常的整头数，而是$2,718,281,828，这当然是取最接近整数的e十亿美元。Google2005年的一次公开募股中，集资额是14,159,265，与圆周率有关。著名计算机科学家高德纳的软件Metafont的软件版本号趋向e（就是说版本号码是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有TeX的软件版本号号是趋向于圆周率的。

自然底数e与圆周率π、虚数单位i并称为数学中最重要的常数之一。其“自然”属性并非指源于自然界的具体事物，而是指其在描述增长、变化以及数学结构本身时所体现出的内在和谐与简洁性。数学家发现以e为底数的对数是计算中最简、最美、最自然的形式。欧拉恒等式 e^(iπ) + 1 = 0 深刻揭示了数学不同分支之间的内在联系。e是关于增长率和变化率的常数。函数e^x是唯一一个导数等于其自身的函数，这一性质使得自然对数系统在微分和积分运算中具有简洁性。e在素数定理、完全率、高斯积分等众多高等数学领域中也扮演着基础性的角色。

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