§3. 有理函数和可化为有理函数的不定积分

掌握有理函数的不定积分、三角函数有理式的不定积分、某些无理根式的不定积分的方法。

 

莱昂哈德·欧拉  

 

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。2007年，为庆祝欧拉诞辰300周年，瑞士政府、中国科学院及中国教育部于2007年4月23日下午在北京的中国科学院文献情报中心共同举办纪念活动，回顾欧拉的生平、工作以及对现代生活的影响。

欧拉年轻时曾研读神学，他一生虔诚、笃信上帝，并不能容许任何诋毁上帝的言论在他面前发表。有一个广泛流传的传说说到，欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里，挑战当时造访宫廷的无神论者德尼·狄德罗：“先生，，所以上帝存在，请回答！”不懂数学的德尼完全不知怎么应对，只好投降。但是由于狄德罗事实上也是一位有作为的数学家，这个传说有可能属于虚构。

欧拉是史上发表论文数第二多的数学家，全集共计75卷；他的纪录一直到了20世纪才被保罗·埃尔德什打破。后者发表的论文达1525篇，著作有32部。欧拉在他的时代，产量之多，无人能及。欧拉实际上支配了18世纪至今的数学；对于当时新数学分支微积分，他推导出了很多结果。很多数学的分枝，也是由欧拉所创或因而有了极大的进展。

在1765年至1771年据说是因欧拉双眼直接观察太阳，双眼先后失明。尽管人生最后7年，欧拉的双目完全失明，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。

欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗．他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后， 也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文．19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说："研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法．"

欧拉的父亲保罗·欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点数学．由于小欧拉的才人和异常勤奋的精神，又受到约翰·伯努利的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了．

1725年约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡．1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁．1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明．不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了．

沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录．欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久．

欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成．有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来．欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题．

1783年9月18日，晚餐后，欧拉一边喝着茶，一边和小孙女玩耍，突然之间，烟斗从他手中掉了下来。他说了一声：“我的烟斗”，并弯腰去捡，结果再也没有站起来，他抱着头说了一句：“我死了”。“欧拉停止了计算和生命”。后面这句经常被数学史家引用的话，出自法国哲学家兼数学家孔多塞之口：“...il cessa de calculer et de vivre（他停止了计算和生活）”（he ceased to calculate and to live）。

数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是：阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。阿基米德有“翘起地球”的豪言壮语，牛顿因为苹果闻名世界，高斯少年时就显露出计算天赋，唯独欧拉没有戏剧性的故事让人印象深刻。

欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。　欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月地问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。

 

 

刘维尔(Joseph Liouville)    

 

 

 法国数学家。1809年3月24日生于法国加来海峡省圣奥梅尔，1882年9月8日卒于巴黎。

 

刘维尔的父亲克劳德-约瑟夫·刘维尔(Claud－Joseph Liouville)是一位陆军上尉，母亲名叫泰雷兹·巴朗(Thérése Bal－land)。刘维尔是他们的次子，幼时先后就学于科梅西和土尔。1825年他来到巴黎综合工科学校学习，A．M．安培(Ampère)担任分析与力学课的老师，两人曾共同探讨电动力学问题。他于1827年11月转入桥梁与公路学校，1831年获学士学位。

 

毕业后不久，他辞去了在伊泽尔省的工程师职务，期望得到一份教职，以便专心从事学术工作。1831年11月，他被综合工科学校教育委员会选为L．马蒂厄(Mathieu)的分析与力学课助教，由此开始了自己近50年的科学研究生涯。

 

1833—1838年间，刘维尔曾在成立不久的中央高等工艺制造学校讲授数学和力学，但内容均为初级的。为使自己的教学工作保持在大学水平上，他在1836年攻取了博士学位，论文题为“关于函数或其一部分的正弦与余弦级数展开式”(Sur le dévelop－pement des fonctions ou parties de fonctions en séries dc sinuset de cosinus)，探讨了傅里叶级数及其在各种力学、物理学问题中的应用，于同年在巴黎成书出版。

 

为适应法国数学研究的需要，刘维尔在1836年1月创办《纯粹与应用数学杂志》(Journal de matématiques pures et appli－quées)，并亲自主持了前39卷的编辑出版工作(第1辑，1—20卷，1836—1855年；第2辑，1—19卷，1856—1874年)。该杂志刊登纯粹、应用数学领域所有分支的论文，记录了19世纪中期的40年里数学活动的一部分重要内容，被后人称为《刘维尔杂志》(Liou－ville′s Journal)。

 

刘维尔不仅与当时一些重要的数学家保持着密切联系并定期发表他们的成果，而且热心地对年轻学者进行指导，为他们发表著作提供机会。最值得一提的当属他编辑发表E．伽罗瓦(Galois)的文章。1832年5月，伽罗瓦在决斗中被杀，刘维尔整理了他的部分遗稿并刊登在1846年的《纯粹与应用数学杂志》上，他在代数方面的独创性工作才得以为世人所知。

 

1838年，刘维尔接替马蒂厄成为综合工科学校的分析与力学课教席，一直工作到1851年他转入法兰西学院任数学教席为止。1839年6月和1840年，他又先后被推举为巴黎科学院天文学部委员和标准计量局成员，定期参与这两方面的活动。

 

刘维尔的学术活动在法国革命期间稍有中断。1848年4月23日，他入选立宪会议，是默尔特行政区的代表之一，次年5月竞选议员失败，他的政治活动遂告结束。

 

1851年来到法兰西学院后，刘维尔的教学工作相当自由，有更多的时间展开自己的研究工作，广泛与他人探讨。他在此职位上一直工作到1879年。不过从1874年他退出《纯粹与应用数学杂志》的编辑工作后，便不再发表著作，也很少参与法国学术界的活动了。刘维尔一生勤于学术工作，生活淡泊宁静，每年都要回到家乡土尔的旧居休假。他在1830年与表亲玛丽-路易丝·巴朗(Marie－Louise Balland)结婚，生有三女一子。