§1. 数列极限概念

1. 掌握数列极限的定义，并会用语言证明给定数列的极限。

如何用语言证明 ：任给，研究，通过放缩得到一个比较简单的形式，然后分析得到n满足什么条件，能够使得.最后用语言总结：对任给的，只要取，则当时，.

注意：N不一定限于正整数，只要是正数即可。

2.掌握数列极限的几何意义和由此产生的新的定义（邻域的语言），并能熟练运用这个定义证明问题。

3. 掌握无穷小数列和无穷大数列的概念和联系，能够判断一个数列是否是无穷小（大）数列。

注意：与收敛相对的是发散，相关定义与性质也要掌握。

 

重点习题：第2、5题重点考察数列收敛和发散的定义，及相关语言。

 

卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯，（1815年10月31日-1897年2月19日）德国数学家，被誉为“现代分析之父”。生于威斯特法伦的欧斯腾费尔德，逝于柏林。魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析的严格化潮流中，以ε-δ语言，系统建立了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化。他引进了一致收敛的概念，并由此阐明了函数项级数的逐项微分和逐项积分定理。在建立分析基础的过程中，引进了实数轴和n维欧氏空间中一系列的拓扑概念，并将黎曼积分推广到在一个可数集上的不连续函数之上。1872年，魏尔斯特拉斯给出了第一个处处连续但处处不可微函数的例子，使人们意识到连续性与可微性的差异，由此引出了一系列诸如皮亚诺曲线等反常性态的函数的研究。希尔伯特对他的评价是：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。今天，分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动”。

父亲威廉·魏尔斯特拉斯是受法国雇佣的海关职员，威廉在家里十分严厉而且专断。14岁卡尔进附近帕德博恩城的一所天主教预科学校学习，在那里学习德语、拉丁语、希腊语和数学。中学毕业时成绩优秀，共获7项奖，其中包括数学，但不容卡尔有半句分辩，他的父亲却把他送到波恩大学去学习法律和商业，希望他将来在普鲁士民政部当一名文官。魏尔斯特拉斯对商业和法律都毫无兴趣。在波恩大学他把相当一部分时间花在自学他所喜欢的数学上，攻读了包括拉普拉斯的《天体力学》在内的一些名著。他在波恩的另一部分时间则花在了击剑上。魏尔斯特拉斯体魄魁伟，击剑时出手准确，加上旋风般的速度，很快就成为波恩人心目中的击剑明星。这样在波恩大学度过四年之后，魏尔斯特拉斯回到家里，没有得到他父亲所希望的法律博士学位，连硕士学位也没有得到。这使他父亲勃然大怒，呵斥他是一个“从躯壳到灵魂都患病的人”。这时多亏他家的一位朋友建议，魏尔斯特拉斯被送到明斯特去准备教师资格考试。1841年，他正式通过了教师资格考试。在这期间，他的数学老师居德曼认识到他的才能。居德曼（C. Gudermann）是一位椭圆函数论专家，他的椭圆函数论给了魏尔斯特拉斯很大影响，魏尔斯特拉斯为通过教师资格考试而提交的一篇论文的主题就是求椭圆函数的幂级数展开。居德曼在这篇论文的评语中写道：“论文显示了一位难得的数学人才，只要不被埋没荒废，一定会对科学的进步作出贡献”。 居德曼的评语并没有引起任何重视，魏尔斯特拉斯在获得中学教师资格后开始了漫长的中学教师生活。他在两处偏僻的地方中学度过了包括30岁到40岁的这段数学家的黄金岁月。他在中学不光是教数学，还教物理、德文、地理甚至体育和书法课，而所得薪金连进行科学通信的邮资都付不起。但魏尔斯特拉斯以惊人的毅力，过着一种双重的生活。他白天教课，晚上攻读研究阿贝尔等人的数学著作，并写了许多论文。其中有少数发表在当时德国中学发行的一种不定期刊物“教学简介”上，但正如魏尔斯特拉斯后来的学生、瑞典数学家米塔。列夫勒所说的那样：“没有人会到中学的教学简介中去寻找有划时代意义的数学论文”。不过魏尔斯特拉斯这一段时间的业余研究，却奠定了他一生数学创造的基础。

他不仅是一位伟大的数学家，而且是一位杰出的教育家！他是如此热爱教育事业，如此爱护他的学生，以致先不要提他日后培养出的一大批有成就的数学人才（其中最著名的有：柯瓦列夫斯卡娅（1850.1.15-1891.2.10，俄国女数学家、作家、政论家）、H。A。施瓦茨（Schwarz，Hermann Amandus，1843.1.25-1921.11.30，法国数学家）、I。L。富克斯（Fuchs，Immanuel Lazarus，1833.5.5-1902.4.26，法国数学家）、M。G。米塔-列夫勒（Mittag-Leffler，Magnus Gustaf，1846.3.16-1927.7.7，瑞典数学家）、F。H。朔特基（Schottky，Friedrich Hermann，1851.7.24-1935.8.12，法国数学家）、L。柯尼希贝格（Konigsberger，Leo，1837.10.15-1921.12.15，法国数学家）等。 ），即便是在这偏僻的中学当预科班的数学老师的时候，他为了能够让自己的学生们更好地理解微积分中最重要的极限概念，而改变了柯西等人当时对极限的定义，创造了著名的、直到今天大学数学分析教科书中一直沿用的极限的ε-δ定义，以及完整的一套类似的表示法，使得数学分析的叙述终于达到了真正的精确化。

魏尔斯特拉斯一生热爱数学，热爱教育事业，热情指导学生，终身孜孜不倦。他不计个人名利，允许学生们或别人把他的研究成果用种种方式传播，而不计较功绩谁属的问题，这种高贵品德也是十分可贵的。他培养出了一大批有成就的数学人才，尤其是世界历史上第一位数学女博士：柯瓦列夫斯卡娅（Софья Васильевна Ковалевская，1850年1月15日－1891年2月10日，俄国女数学家。德国格丁根大学哲学博士。曾任瑞典斯德哥尔摩大学教授。在偏微分方程和刚体旋转理论等方面有重要贡献。1888年因解决刚体绕定点旋转问题而获得法兰西科学院鲍廷奖，并成为圣彼得堡科学院院士，是俄国历史上获此称号的第一个女性。）。

要知道，在当时的整个欧洲社会风气下，大多数人反对妇女受正规教育，妇女根本不能进大学的门！柯瓦列夫斯卡娅为了能在彼得堡进大学听课，是付出了“假结婚”的代价，才脱离了父母的监护和控制。可即便如此，她在彼得堡也只能当一个偷偷摸摸的旁听生，在丈夫、亲戚和好心的同学们掩护下，一次次躲过学校监察人员的眼睛。而当她和丈夫来到德国以后，虽然听课的自由基本是有了，可无论是正式入学，还是参加考试，身为一个女性都面临着极为严苛的歧视。柯瓦列夫斯卡娅虽然表现了极好的人品以及数学天赋，可是在海德堡却找不到一位数学教授能够收她为弟子，因为人言可畏。

于是柯瓦列夫斯卡娅不得不直接来柏林求助于人品有口皆碑的魏尔斯特拉斯。在亲自考查并写信询问了海德堡这个特殊的女学生的数学专业能力以及人品后，魏尔斯特拉斯深深为索菲娅・柯瓦列夫斯卡娅的抱负所感动。于是他决定单独在家里教授她（因为他自己的学生里就有不少坚决反对女子入学的）——这一教，就是四年！

四年里，一直都是魏尔斯特拉斯在课堂讲一遍，再回家里为柯瓦列夫斯卡娅单独讲一遍。四年中，索菲娅・柯瓦列夫斯卡娅不仅完成了所有大学课程，而且还完成了三篇重要的数学论文，而这时她才23岁。这三篇论文每一篇都足以使她获得“数学家”的称号。于是，又是魏尔斯特拉斯亲自张罗，才让既是受歧视的女性、又是德语并不纯熟的“外来户”的柯瓦列夫斯卡娅顺利拿到了数学博士学位。而未来这个女学生的成就，足以证明她导师爱惜人才、培养人才的眼光之准，心胸之宽阔。

魏尔斯特拉斯很少正式发表自己的研究成果，他的许多思想和方法主要是通过他在柏林工业大学和柏林大学的课堂讲授而传播的，其中有一些后来由他的学生整理发表出来。在1857年开始的解析函数论课程中，魏尔斯特拉斯给出了第一个严格的实数定义，这个定义大意是先从自然数出发定义正有理数，然后通过无穷多个有理数的集合来定义实数。像大多数情况一样，魏尔斯特拉斯只是在课堂上作了讲授。1872年，有人曾建议他发表这一定义，但被魏尔斯特拉斯拒绝了。

他高尚的风范和精湛的教学艺术是永远值得全世界数学教师学习的光辉典范。1873年魏尔斯特拉斯出任柏林大学校长，从此成为大忙人。除教学外，公务几乎占去了他全部时间，使他疲乏不堪。紧张的工作影响了他的健康，但其智力未见衰退。他的70年诞庆典规模颇大，遍布全欧各地的学生赶来向他致敬。10年后80大寿庆典更加隆重，在某种程度上他简直被看作德意志的民族英雄。1897年初，他染上流行性感冒，后转为肺炎，终至不治，于2月19日溘然上逝，享年82岁。

除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学会会员（1856）、巴黎科学院院士（1868）、英国皇家学会会员（1881）。