第5节 康托尔三分集

学习要求：掌握稠密、疏朗集的定义.熟悉康托尔集的构造方法.

对[0, 1]区间三等分, 去掉中间一个开区间, 然后对留下的两个闭区间三等分, 各自去掉中间一个开区间, 此过程一直进行下去, 最后留下的点即为Cantor集, 记为P.

康托尔三分集是一个测度为零且基数为c的疏朗完备集.

 

 

豪斯多夫

德国数学家。1868年11月8日生于布列斯劳(今波兰弗拉茨瓦夫)，1942年1月26日卒于波恩。幼时随父母迁往莱比锡。1891年在莱比锡大学取得博士学位。1896年任该校数学讲师。早年的兴趣在哲学和文学，1902年升任副教授后，才用较多时间研究数学。1910年任波恩大学副教授,1913年在格赖夫斯瓦尔德大学任教授,1921年回波恩大学任教授。1935年因是犹太人被强制退休,1942年初在波恩自杀。

豪斯多夫的工作涉及天文学、光学、概率论及几何学等。他最重要的贡献在集合论和点集拓扑学方面，代表作为《集论》(1914)，这一著作奠定了点集拓扑学的基础。其中首次借助邻域概念定义拓扑空间，开展度量空间研究。他提出的一类拓扑空间（任两点都分别存在邻域且二者不相交）被称为豪斯多夫空间。这一著作对集合论也有诸多贡献，如将序型分类、研究序型的有序积、有序集表示等问题。他引入的极大原理可用来代替超限归纳法，并与后来常用的佐恩引理等价。

1914年,他提出中单位球的分解,后导致巴拿赫－塔尔斯基分球悖论。同年提出测度问题：是否存在使的每个子集均可测的有限可加测度? 1923年证明上述问题当=1、2时存在无穷多个解，当≥3时无解。

豪斯多夫在其他方面的工作有：群论符号的指数公式（1906）、华林问题简化证明(1909)及提出非整维数(1919)等。

 

 

瓦茨瓦夫·弗朗西斯克·谢尔宾斯基，波兰数学家，逝世于华沙。

以对集合论（对选择公理（axiom of choice）和连续统假设的研究）、数论、函数的理论和拓扑学的出色贡献而闻名。他共出版了超过700篇的论文和50部著作，这当中有两部，“一般拓扑学入门”（1934年）和“一般拓扑学”（1952年）后来被加拿大数学家Cecilia Krieger译成英文。

波兰数学家，1882年3月14日 生于华沙。1900年进入华沙大学学习，成为沃罗诺伊的学生。1903年华沙大学时，数学物理系设立了一个奖学金，以奖励学生的数论方面的优秀论文。谢尔宾斯基的论文获得了金质奖章，也因此而为他的第一个主要的数学贡献奠定了基础。因为不愿意使用俄语出版，直到1907年，他才将其出版在了萨谬尔·狄克斯坦的数学杂志（The Works of Mathematics and Physics）上。

1904年毕业后，谢尔宾斯基在华沙的一所学校任数学和物理老师。 当学校因为罢工而关闭，谢尔宾斯基决定到克拉科夫攻读博士学位。在克拉科夫的亚格隆尼大学（Jagiellonian University）他做斯塔尼斯瓦夫·萨伦巴（Stanislaw Zaremba）的助教教授数学，同时也学习天文学和哲学。1908年，谢尔宾斯基获得了博士学位并被委派到利沃夫大学。1919年任华沙大学教授。

谢尔宾斯基三角形

1907年，当偶然遇到了这样一个理论：平面上的点可以限定一个坐标，他第一次对集合论感兴趣。他写信给塔杜施·巴纳赫维奇（Tadeusz Banachiewicz）（那时在哥廷根），询问他这样的结论怎么可能。他得到的回答只有一个词——格奥尔格·康托尔。1909年，谢尔宾斯基开始研究集合论，他保持着难以置信的研究论文和著作的产出。1908年到1914年，他还是罗乌大学教师时，他出版了三部著作和许多研究论文。这三本著作是：无理数原理（1910年），集合论概论（1912年），数论（1912年）。

1919年，他成为了华沙大学的教授，并在此度过了余生。　1920年，他同齐格蒙特·扬尼舍夫斯基（Zygmunt Janiszewski）以及谢尔宾斯基以前的学生史提芬·马苏基耶维茨（Stefan Mazurkiewicz）三人一起创建了重要的数学刊物《数学基础》（Fundamenta Mathematica）。谢尔宾斯基本人主要负责编辑集合论部分。

谢尔宾斯基面壳

在这期间，谢尔宾斯基主要研究集合论，但也研究了点集拓扑学和函数的自由变量。集合论当中，他的贡献主要是选择公理和连续统假设。还有谢尔宾斯基曲线。谢尔宾斯基继续同卢津合作研究分析和投影集合。他研究函数的自由变量包括函数序列（functional series）、函数的导数（differentiability）和Baire's classification。谢尔宾斯基还深刻的影响了数学在波兰的发展。1921年，他成为华沙大学教务长。1928年，他成为华沙科学协会副主席，同年，当选波兰数学协会主席。

第二次世界大战中，在莫斯科被拘留期间，与卢津等俄国数学家接近。1945年回到华沙。1952年被选为波兰科学院院士，曾任该院副院长。还是荷兰、捷克斯洛伐克等外国科学院院士。

长期从事集合论及其在数学名领域(拓扑学、实变函数论等)中应用的研究，就是在第二次世界大战期间也未停止过。对数学的其他领域，特别是数论方面的研究，也取得较大成就。于1906年证明了 ≦1/3这一利用较深的分析方法；1915年又在二维与三维空间给出了“谢尔平斯基缕垫”和“谢尔平斯基海绵”；另提出了“不存在三个有理数，它们的和与积都等於1”的“谢尔平斯基猜想”等。两个著名的分形是根据他的名字命名，谢尔宾斯基三角形和谢尔宾斯基地毯；另外还有谢尔宾斯基数和谢尔宾斯基问题也是以他的名字命名。

谢尔宾斯基地毯

谢尔平斯克的著作很多，包括大学教科书、专著和科普读物等，共有700多种。 谢尔平斯克于1920年在华沙与数学家Z·亚尼舍夫斯基和S·马祖凯维奇等人共同创办了《数学基础》杂志，并于1957年恢复出版国际性杂志《算术编年史》。

谢尔平斯克因在数学上的成就，1949年获波兰人民共和国国家奖金，并多次获得其他各种奖金。他1960年时作为华沙大学教授退休，但是仍然继续在华沙科学院的数论方面的研究生课程直到1967年。他仍然继续他的编辑工作，做Acta Arithmetica的责任编辑，还是Rendiconti dei Circolo Matimatico di Palermo、Composito Matematica 和 Zentralblatt für Mathematik 编辑部成员。1969年10月21 日，他在华沙去世，终年87岁。其他著作有《论超穷数》、《数论》、《连续假说》、《一般拓扑学》、《基数和序数》和《数的基础理论》等 ^[1]  。

荣誉学位：罗乌（1929年）、St. Marks of Lima（1930年）、阿姆斯特丹（1931年）、Tarta（1931年）、Sofia（1939年）、Prague（1947年）、Wrocław（1947年）、Lucknow（1949年）和莫斯科国立大学（1967年）。

他还当选利马地理协会（1931年）、列日皇家科学协会（1934年）、保加利亚科学院（1936年）、利马国家学院（1939年）、那不勒斯皇家科学协会（1939年）、罗马的意大利科学院（1947年）、德国科学院（1950年）、美洲科学院（1959年）、巴黎学院（1960年）、荷兰皇家学院（1961年）、布鲁塞尔科学院（1961年）、伦敦数学协会（1964年）、罗马尼亚学院（1965年)和教皇科学院（1967年）。

瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基安葬在波兰华沙的Powazki 公墓。

 

尼尔斯·法比安·海里格·冯·科赫（Niels Fabian Helge von Koch） （1870年1月25日 – 1924年3月11日）是一位瑞典数学家。著名的科赫雪花，最早被描述出来的分形曲线之一，就是以他的名字命名的。

冯·科赫出生于一个瑞典贵族家庭。他的祖父尼勒斯·萨穆埃尔·冯·科赫（Nils Samuel von Koch）（1801年-1881年）曾担任瑞典的司法大臣（Justitiekanslern）。他的父亲理查德·沃格特·冯·科赫（Richert Vogt von Koch）（1838年–1913年）是瑞典皇家近卫骑兵团的中校。冯·科赫在1887年被新成立不久的斯德哥尔摩大学录取，在哥斯塔·米塔格-列夫勒（Gösta Mittag-Leffler）的指导下学习。由于斯德哥尔摩大学当时尚未获得颁发学位的许可，1888年他又就读于乌普萨拉大学，并其后在此处获得文学士学位（瑞典语：filosofie kandidat）。1892年他在乌普萨拉大学获得了哲学博士学位。1905年，他被在斯德哥尔摩的皇家工学院任命为数学教授，接任伊瓦尔·本迪克森（Ivar Bendixson）。接下来又在1911年成为斯德哥尔摩大学的纯数学教授。

冯·科赫写过多篇关于数论的论文。其中一个研究成果是他在1901年证明的一个定理，说明了黎曼猜想等价于素数定理的一个条件更强的形式。

在他1904年的一篇论文“关于一个可由基本几何方法构造出的，无切线的连续曲线”（原文的法文标题为：“Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire”）中，他描述了科赫曲线的构造方法。

 

 

分形，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。分形（Fractal）一词，是芒德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义。1973年，芒德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形的设想。

分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科，是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动力系统理论的联系更为显著。分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以，故而与鞅论关系密切。

分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界普遍存在，因此分形几何学又被称为描述大自然的几何学。分形几何学建立以后，很快就引起了各个学科领域的关注。不仅在理论上，而且在实用上分形几何都具有重要价值。

“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。”——物理学家惠勒

分形理论是在上世纪70年代由芒德布罗几乎集一己之力创立的，但其严格的数学基础之一——芒德布罗集，却是70年代末芒德布罗及布鲁克斯、马蒂尔斯基以及道阿迪、哈伯德、沙斯顿等人几乎同时分别建立完善的，他们的思想都源自上世纪前叶一些前辈如法图、莱维、朱利亚的有关思想。

中文文献中芒德布罗的译名一直不统一，芒德布罗本人使用的中文名字是“本华·曼德博”，可见于其耶鲁大学网站个人主页照片，为竖排繁体汉字手写体。全国科学技术名词审定委员会在数学、物理学、力学等几个学科术语的译名中，使用的都是“芒德布罗”。本华·曼德博（1924－2010，法语原文Benoît B. Mandelbrot），生于波兰的立陶宛裔犹太家庭，主要成长教育经历是在法国完成的，后长期在美国工作。如果追求音译的准确，还应考虑Mandelbrot姓氏最初的来源，这是一个明显地具有阿什肯那兹犹太姓氏特征的姓（德语“杏仁”+“面包”）。

 

分形现已成为应用极为广泛的学科。芒德布罗个人风格独特，对各类看似“无定形”、“不光滑”的“怪东西”皆富有兴趣，也正是这样他才能最终抽象创立出分形这门学科。曼德布罗特来访过中国大陆一次以上，称中国文字个个是图形，与他路数相合（芒德布罗本人习用法语）。中国最早使用分形理论的可能是金属学界。

现今人们熟悉的分形的著名实例，如用“镂空”办法制成的康托尔集、谢尔宾斯基三角形(Waclaw Sierpinski,1882-1969，波兰数学家)及门格奶酪或称门格海绵（Menger，1902-1985，为著名经济学家门格之子），它们的非整数维数是渐增的，分别为0.63、1.58、2.72，而它们长度、面积、体积令人吃惊的皆为0。另一个用“凸起”办法制作的科赫曲线(H.von Koch,1870-1924，瑞典数学家)，其维数是1.26，它的长度则是无限的，可它围住的面积却有限！

分形作为一种数学工具，现已应用于各个领域，如应用于计算机辅助使用的各种分析软件中。

    据芒德布罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，芒德布罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。芒德布罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等。它们的特点都是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。

分形学发展史上的重要里程碑

1883年 Cantor集合被创造

1895年 Weierstrass曲线被创造，此曲线特点是“处处连续，点点不可微”

1906年 Koch曲线被创造

1914年 Sierpinski三角形被创造

1919年 描述复杂几何体的Hausdorff维问世

1951年 英国水文学家Hurst通过多年研究尼罗河，总结出Hurst定律

1967年 Mandelbrot在《Science》杂志上发表论文《英国的海岸线有多长》

1975年 Mandelbrot创造“Fractals”一词

1975年 Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》

1977年 Mandelbrot在美国出版英文著作《Fractals:Form,Chance,and Dimension》以及《The Fractal Geometry of Nature》

1982年 《The Fractal Geometry of Nature》第二版，并引发“分形热”

1991年 英国的Pergman出版社创办《Chaos，Soliton and Fractal》杂志

1993年 新加坡世界科学出版社创办《Fractal》杂志

1998年 在马耳他（Malta)的瓦莱塔（Valletta)召开了“分形98年会议”（5th International Multidisciplinary Conference)

2003年 在德国的Friedrichroda召开了“第三届分形几何和推测学国际会议”

2004年 在加拿大（Canada)的温哥华（Vancouver)召开了“分形2004年会议”（8th International Multidisciplinary Conference)