第3节 开集, 闭集, 完备集

掌握开集, 闭集, 完备集的定义和性质. 能够熟练运用开集和闭集的对偶性证明题目. 掌握海涅博雷尔有限覆盖定理, 紧集的定义和紧集与有界闭集的关系. 掌握完备集的定义.

注意: 在n维欧式空间中,紧集等价于有界闭集,但是对于其他的空间,则不一定成立. 因为紧集一定是有界闭的, 但是有界闭集不一定是紧集.

 

海因里希·爱德华·海涅_百度百科 (baidu.com)

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海因里希·爱德华·海涅(Heinrich Eduard Heine)  1821.3.16-1881.10.21

 

德国数学家。生于柏林，卒于哈雷市。1838年到柏林大学、哥廷根大学攻读，是高斯、狄利克雷的学生。1842年在柏林大学获得哲学博士学位。1844年任教于波恩大学，1848年成为特别教授，同年九月被聘为哈雷-维滕贝格大学教授，1864-1864年任校长。先后被选为普鲁士科学院通讯院士、哥廷根科学协会会员。1877年，在高斯诞辰纪念日获得高斯奖章以表彰他对数学的贡献。

主要成就

1，阐述了一致收敛的概念，证明了连续函数的一致收敛定理。

2，独立发现并利用了海涅定理（1895年，波莱尔证明了有限覆盖定理，这就是著名的波莱尔覆盖定理。由于海因里希·爱德华·海涅在关于一致连续的证明中也利用了这个性质，所以这个定理也有人称之为海涅-波莱尔定理），建立了沟通数列极限与函数极限的桥梁。

3，给出了无理数的算数定义。

出版著作： 《球面函数指南》（Handbuch der Kugelfunctionen，1861年）

个人生活

1850年，海因里希·爱德华·海涅与一位柏林商人的女儿苏菲沃尔夫结婚，这对夫妇有五个孩子,四个女儿和一个儿子。

 

 

E.波莱尔（Borel，Emile，1871.1.7-1956.2.3）,法国数学家。生于法国阿韦龙的圣阿弗里克，卒于巴黎。

 

1893年至1896年在里尔大学任教授。1897年至1920年在巴黎高等师范学校任教授，其间，1911至1920年任校长。1909年至1941年，在巴黎大学文理学院任教授。1920年随他的老朋友、数学家和政治家P.班勒卫来中国进行学术交流，1921年当选为法国科学院院士，1921年以后，他投身政界，成为激进社会主义者代表（1924-1936），当过市长、地方议员、海军部长(1925)，还参加筹建国家科学研究中心。1927年至1941年任庞加莱研究所所长，1929年，他为苏联科学院外国通讯院士。

波莱尔对数学的贡献，他引进近代实变函数理论、测度论、发散级数论、非解析开拓、可数概率、丢番图近似以及解析函数值的度量分布理论等。他取得的成果，如波莱尔覆盖定理、波莱尔测度和波莱尔求和法等，对现代数学的许多分支都产生了深刻的影响。

1895年，他证明了有限覆盖定理，这就是著名的波莱尔覆盖定理。由于海涅在关于一致连续的证明中也利用了这个性质，所以这个定理也有人称之为海涅-波莱尔定理。

1898年，他发表了《函数论讲义》一书。在处理表示复函数的级数收敛的点集时，他看出了皮亚诺（Peano，Giusepoe，1858.8.27-1932.4.20）、若尔当（Jordan，Camille，1838.1.5-1922.1.21）的容量理论的缺陷，并着手对之作了补救。他引入了“测度”的概念，定义了可数个不相交的可测集的并集的测度，他还考虑了零测集，并证明了测度大于零的集合是不可数的。波莱尔的测度论就这样产生了。后来，他的学生勒贝格（Lebesgue,Henri Leon,1875.6.28-1941.7.26）将他的测度论推向一般化，引出了勒贝格的可列可加测度，并定义了一种积分，使黎曼（Riemann,Georg Friedrich Bernhard,1826.9.17-1866.7.20）意义下不可积的函数，有些在勒贝格意义下可积了，引起了一场积分学的革命。

1895年至1899年，他借助无穷级数来研究任意函数。可和性级数理论的系统发展，就是从他这里的工作开始的。他用无穷积分定义级数的可和性，并引进绝对可和性的概念，并证明了绝对可和的发散级数可以完全象收敛级数那样进行运算。他的这些理论可以直接应用于微分方程。

1896年所作皮卡（Picard，Charles Emile，1856.7.24—1941.12.11）定理的证明不仅由于该问题历时18年首次得到解决，而且为复变函数理论的推广提供了方法。