第二章:Hausdorff测度

第2章 Hausdorff 测度

本章我们介绍\(\mathbb{R}^n\) 空间中一个重要的Borel测度：Hausdorff测度

2.1 Hausdorff测度

2.1.1 定义和基本性质

定义2.1.1. 令\(A\subset\mathbb{R}^n,0\leq s<\infty,0<\delta\leq\infty\) 记：

\[\mathcal{H}_{\delta}^{s}(A)=\inf\left\{\sum_{j=1}^{\infty}\alpha(s)\left(\frac{\mathrm{diam}C_{j}}{2}\right)^{s},A\subseteq\bigcup_{j=1}^{\infty}C_{j},\mathrm{diam}C_{j}\leq\delta\right\}, \]

其中\(\alpha(s):=\frac{\pi^{\frac s2}}{\Gamma\left(\frac s2+1\right)}.\) 并且令

\[\mathcal{H}^{s}(A):=\lim_{\delta\to0}\mathcal{H}_{\delta}^{s}(A)=\sup_{\delta>0}\mathcal{H}_{\delta}^{s}(A). \]

我们称\(H^{s}\) 为\(\mathbb{R}^n\) 中的\(s\) 维Hausdorff测度

这里

\[\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\:\mathrm{d}t,x>0 \]

根据Gamma函数的性质我们知道

\[\Gamma(x+1)=x\Gamma(x),\Gamma(n+1)=n!. \]

首先我们说明定义的合理性，即\(H^{s}\) 确实是一个测度

定理2.1.2. 对任意的\(0\leq s < \infty,\mathcal{H}^s\) 都是一Borel正则测度（但不是Radon 测度，因为当\(0\leq s < n\) 时没有局部有限性)

证明 1.首先我们证明\(\mathcal{H}_{\delta}^s\) 是（外）测度.只需证明次可加性即可，设\(\{A_k\}\subset\mathbb{R}^n\) ，并且\(A_{k}\subset\bigcup_{j=1}C_{j}^{k}\),diam\(C_j^k\leq\delta\) 并且\(\left\{C_{j}^{k}\right\}_{j,k=1}\) 覆盖了\(\cup A_k\) ，于是根据定义

\[\mathcal{H}_\delta^s\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right)\leq\sum_{k=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty\alpha(s)\left(\frac{\mathrm{diam}C_j^k}{2}\right)^s \]

取下确界就有

\[\mathcal{H}_{\delta}^{s}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)\leq\sum_{k=1}^{\infty}\mathcal{H}_{\delta}^{s}\left(A_{k}\right). \]

2.证明\(H^{s}\) 是测度\(.A_k\) 定义同上，于是

\[\mathcal{H}_{\delta}^{s}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)\leq\sum_{k=1}^{\infty}\mathcal{H}_{\delta}^{s}\left(A_{k}\right)\leq\sum_{k=1}^{\infty}\mathcal{H}^{s}\left(A_{k}\right) \]

令\(\delta\to0\) 即可得证

3.\(\mathcal{H}^s\) 是Borel测度.我们利用Caratheodory判断准则1.2.6.,即如果\(dist(A,B) > 0\Rightarrow\) \(\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)\) ．我们取覆盖\(A\cup B\) 的小球半径为\(\delta\) ，并且\(0 < \delta < dist(A,B)\)，以及\(A\cup B\subset\bigcup_{k=1}C_{k},\mathrm{diam}(C_k)\leq\delta.\)

我们将\(\{C_k\}\) 分为两部分，

\[\mathcal{A}:=\left\{C_{j}\mid C_{j}\cap A\neq\emptyset\right\},\mathcal{B}:=\left\{C_{j}\mid C_{j}\cap B\neq\emptyset\right\}. \]

由于\(\mathrm{diam}C_{k}\leq\delta\) ，因此\(\mathcal{A}\cap\mathcal{B}=\emptyset\) .于是

\[\begin{aligned} \sum_{j=1}^{\infty}\alpha(s)\biggl(\frac{\mathrm{diam}C_{j}}{2}\biggr)&\geq\sum_{C_{j}\in\mathcal{A}}\alpha(s)\left(\frac{\mathrm{diam}C_{j}}{2}\right)^{s}+\sum_{C_{j}\in B}\alpha(s)\left(\frac{\mathrm{diam}C_{j}}{2}\right)^s \\ &\geq\mathcal{H}_{\delta}^{s}(A)+\mathcal{H}_{\delta}^{s}(B) \\ \end{aligned} \]

两边对\(\delta\) 取下确界就得到了所证

4.Borel正则性.不妨设\({\mathcal H}^{s}(A)<\infty\) ，因此\({\mathcal H}_{\delta}^{s}(A)<\infty\) .对任意的\(k\geq1\) ，选择一列闭集\(\{C_j^k\}\) ，使得\(\operatorname{diam}C_j^k\leq\frac1k\) ，并且使得

\[\sum_{j=1}^{\infty}\alpha(s)\left(\frac{\mathrm{diam}C_{j}^{k}}{2}\right)^{s}\leq\mathcal{H}_{\frac{1}{k}}^{s}(A)+\frac{1}{k} \]

令 \(A_k=\bigcup_k C_k,B=\bigcap_k A_k\)，则\(B\) 是Borel 的,并且\(A\subset B\) 于是

\[\mathcal{H}_{\frac{1}{k}}^{s}(B)\leq\sum_{j=1}^{\infty}\alpha(s)\left(\frac{\mathrm{diam}C_{j}^{k}}{2}\right)^{s}\leq\mathcal{H}_{\frac{1}{k}}^{s}(A)+\frac{1}{k} \]

两边令\(k\to\infty\) ，于是\({\mathcal H}^{s}(B)\leq{\mathcal H}^{s}(A)\) ，但是\(A\subset B\) ，故只能\({\mathcal H}^{s}(A)={\mathcal H}^{s}(B)\) 故定理得证

下边是它的一些基本性质：

命题2.1.3.

1. \(H^0\) 是一计数测度

2. \({\mathcal H}^{1}={\mathcal L}^{1}\) on \(\mathbb{R}^{1}\)

3. \(\mathcal{H}^s\equiv0\) on \(\mathbb{R}^n\) ， \(\forall s >n\)

4. \({\mathcal H}^{s}(\lambda A)=\lambda^{s}{\mathcal H}^{s}(A)\) \(\forall\lambda>0,A\subseteq\mathbb{R}^{n}.\)

5. \({\mathcal H}^{s}(L(A))={\mathcal H}^{s}(A)\) 对任意的仿射同构\(L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,A\subseteq\mathbb{R}^n\)

这里\(L=Ax+b,A\in O(n),b\in \mathbb{R}^n\)

证明. 1/4/5是平凡的，因此我们证明2/3

\[\begin{aligned} \mathcal{L}^{1}(A)& =\inf\left\{\sum_{j=1}^{\infty}\mathrm{diam}C_{j}\mid A\subseteq\bigcup_{j=1}^{\infty}C_{j}\right\} \\ &\leq\inf\left\{\sum_{j=1}^{\infty}\mathrm{diam}C_{j}\mid A\subseteq\bigcup_{j=1}^{\infty}C_{j},\mathrm{diam}C_{j}\leq\delta\right\} \\ &=\mathcal{H}_{\delta}^{1}(A) \end{aligned}\]

故\({\mathcal{L}}^{1}\leq{\mathcal H}^{1}\)

我们将区间分解为\(I_k=[k\delta,(k+1)\delta]\) ，于是 \(\mathrm{diam}(C_{j}\cap I_{k})\leq\delta\) ，故

\[\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathrm{diam}\left(C_{j}\cap I_{k}\right)\leq\mathrm{diam}C_{j}. \]

因此

\[\begin{aligned} &&\mathcal{L}^{1}(A)& =\inf\left\{\sum_{j=1}^{\infty}\mathrm{diam}C_{j}\mid A\subseteq\bigcup_{j=1}^{\infty}C_{j}\right\} \\ &&&\geq\inf\left\{\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathrm{diam}\left(C_{j}\cap I_{k}\right)\mid A\subseteq\bigcup_{j=1}^{\infty}C_{j}\right\} \\ &&&\geq H_{\delta}^{1}(A). \\ \end{aligned}\]

故反向也成立.因此对\(A\subset\mathbb{R}^1\) ，我们有\({\mathcal L}^{1}={\mathcal H}^{1}\)

3.我们证明任意的单位方体的测度均为0即可.对任意的正整数\(m\geq1\) ，我们可以将单位立方体分解为\(m^n\) 小的立方体，其中每个立方体的边长为\(\frac{1}{m}\) ，半径为\(\frac{\sqrt{n}}m\) ，因此

\[H_{\frac{\sqrt{n}}{m}}(Q)\leq\sum_{i=1}^{m^n}\alpha(s)\biggl(\frac{\sqrt{n}}{m}\biggr)^s=\alpha(s)n^{\frac{s}{2}}m^{n-s} \]

令\(m\to\infty\) ，因此对任意的单位立方体\({\mathcal H}^{s}(Q)=0\Rightarrow{\mathcal H}^{s}(\mathbb{R}^{n})=0\) .故结论得证

2.1.2 Hausdorff维数

引理2.1.4. 设\(A\subset\mathbb{R}^n\) ，并且存在\(\delta>0\) 使得\({\mathcal H}_{\delta}^{s}(A)=0,0 < \delta < \infty.\) 则\(\mathcal{H}^s(A)=0\)

证明.根据定义，固定\(\varepsilon > 0\) ，则存在\(\{C_j\}\subset\mathbb{R}^n\) 并且\(A\subset \bigcup_k C_k\)，使得

\[\sum_{j=1}^{\infty}\alpha(s)\left(\frac{\mathrm{diam}C_{j}}{2}\right)^{s}\leq\epsilon\Rightarrow\mathrm{diam}C_{i}\leq2\left(\frac{\epsilon}{\alpha(s)}\right)^{\frac{1}{s}}=:\delta(\epsilon) \]

因此

\[H_{\delta(\epsilon)}^s(A)\leq\epsilon \]

令\(\epsilon\to0 \Rightarrow\delta(\epsilon)\to0\) ，故结论得证

引理2.1.5.
设\(A\subset\mathbb{R}^n\) ，并且\(0\leq s < t < \infty\) ：则：

1. If \({\mathcal H}^{s}(A) < \infty\Rightarrow{\mathcal H}^{t}(A)=0\)

2. If \({\mathcal H}^{t}(A) > 0\Rightarrow{\mathcal H}^{s}(A)=+\infty\)

证明．1.不妨设\({\mathcal H}^{s}(A) < \infty\) ，根据定义取\(\delta > 0\) ，以及\(\{C_j\}\) 使得\(A \subset \bigcup_j C_j\) 得

\[\sum_{j=1}^{\infty}\alpha(s)\left(\frac{\mathrm{diam}C_{j}}{2}\right)^{s}\leq\mathcal H_{\delta}^{s}(A)+1\leq\mathcal H^{s}(A)+1 \]

故

\[\begin{aligned} \mathcal{H}_{\delta}^{t}(A)& \leq\sum_{j=1}^{\infty}\alpha(t)\left(\frac{\mathrm{diam}C_{j}}{2}\right)^{t} \\ &=\frac{\alpha(t)}{\alpha(s)}2^{s-t}\sum_{j=1}^{\infty}\alpha(s)\left(\frac{\mathrm{diam}C_{j}}{2}\right)^{s}\left(\mathrm{diam}C_{j}\right)^{t-s} \\ &\leq\frac{\alpha(t)}{\alpha(s)}2^{s-t}\delta^{t-s}\left(\mathcal{H}^{s}(A)+1\right). \end{aligned}\]

令\(\delta\to0\) 则结论可证

2.反证结合1即可，

定义2.1.6(Hausdorff维数）.
定义\(A\subset\mathbb{R}^n\) 的Hausdorff 维数为

\[H_{\dim}(A):=\inf\{0\leq s<\infty\mid\mathcal{H}^{s}(A)=0\} \]

显然\(H_{dim}\leq n\) 令\(s=H_{dim}(A)\) ，则：

1. \(t > s\Rightarrow\mathcal{H}^{t}(A)=0\),\(t < s\Rightarrow\mathcal{H}^{t}(A)=+\infty;\)
2. \(t=s,\mathcal{H}^{s}(A)\) 可能是任意值

2.3 Lipschitz 函数

定义2.3.1. 称函数\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) 是Lipschitz连续函数，如果存在\(C\) 使得：

\[|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|\quad\mathrm{for~all~}x,y\in\mathbb{R}^n. \]

对Lipschitz函数，我们称

\[\mathrm{Lip}(f):=\sup\left\{\left.\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\right|\:x,y\in\mathbb{R}^n,x\neq y\right\} \]

为Lipschitz常数

定理2.3.2.
设函数\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) 是Lipschitz连续函数\(,A\subset\mathbb{R}^{n},0\leq s < \infty\) ，则

\[\mathcal{H}^{s}(f(A))\leq(\mathrm{Lip}(f))^{s}\mathcal{H}^{s}(A) \]

证明： 固定\(\delta > 0\) ，取\(\{C_i\}\) 使得 \(A\subset\cup C_i\),diam\(C_i\leq\delta\) ，因此：

\[\mathrm{diam}f\left(C_{i}\right)\leq\mathrm{Lip}(f)\mathrm{diam}C_{i}\leq\mathrm{Lip}(f)\delta,f(A)\subseteq\cup_{i=1}^{\infty}f\left(C_{i}\right). \]

因此：

\[\begin{aligned} \mathcal{H}_{\mathrm{Lip}(f)\delta}^{s}(f(A))& \leq\sum_{i=1}^{\infty}\alpha(s)\left(\frac{\mathrm{diam}f\left(C_{i}\right)}{2}\right)^{s} \\ &\leq\left(\mathrm{Lip}(f)\right)^{s}\sum_{i=1}^{\infty}\alpha(s)\left(\frac{\mathrm{diam}C_{i}}{2}\right)^{s} \end{aligned}\]

于是

\[\mathcal{H}_{\mathrm{Lip}(f)\delta}^{s}(f(A))\leq(\mathrm{Lip}(f))^{s}\mathcal{H}_{\delta}^{s}(A) \]

令\(\delta\to0\) 即得所证

---

考虑Lip函数数\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) 的图像

\[G(f;A):=\{(x,f(x))\mid x\in A\}\subset\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m=\mathbb{R}^{n+m}; \]

定理2.3.3.
假设\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) ，并且\({\mathcal{L}}^n(A) > 0\) ，则：

\[H_{\dim}(G(f;A))\geq n. \]

特别的，如果\(f\) 是Lip连续的，则\(H_{\dim}(G(f;A))=n\)

证明.1.设\(P:\mathbb{R}^{n+m}\to\mathbb{R}^n\) 是Lip函数，因此根据前边的定理就有

\[\mathcal{H}^n(G(f;A))\geq\mathcal{H}^n(A)>0 \]

2.如果\(f\) 还是Lip连续的.设\(Q\) 是\(\mathbb{R}^n\) 中单位立方体，将其分解为\(k^n\) 个小立方体每个边长为\(\frac{1}{k}\) ，因此\(\dim Q_i=\frac{\sqrt n}k\) 定义

\[a_j^i:=\min_{x\in Q_j}f^i(x),b_j^i:=\max_{x\in Q_j}f^i(x) \]

因为\(f\) 是Lip的，所以

\[\left|b_j^i-a_j^i\right|\leq\mathrm{Lip}(f)\mathrm{diam}Q_j=\mathrm{Lip}(f)\frac{\sqrt{n}}{k}. \]

3.令

\[C_i:=Q_j\times\prod_{i=1}^m\left(a_j^i,b_j^i\right) \]

于是

\[\begin{Bmatrix}(x,f(x))\mid x\in Q_j\cap A\end{Bmatrix}\subseteq C_j \]

并且diam\(C_j< \frac Ck\) 因为

\[G(f;A\cap Q)\subseteq\cup_{j=1}^{k^n}C_j \]

故

\[\mathcal{H}_{\frac{c}{k}}^n(G(f;A\cap Q))\leq\sum_{j=1}^{k^n}\alpha(n)\left(\frac{\mathrm{diam}C_j}{2}\right)^n \]

\(k\to\infty\) ，于是\(\mathcal{H}^n(G;A\cap Q)<\infty\Rightarrow H_{\mathrm{dim}}(G(f;A\cap Q))\leq n\) ，于是\(H_{\dim}(G(f;A))\leq n\)

2.3 Lipschitz 函数

定义2.3.1. 称函数\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) 是Lipschitz连续函数，如果存在\(C\) 使得：

\[|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|\quad\mathrm{for~all~}x,y\in\mathbb{R}^n. \]

对Lipschitz函数，我们称

\[\mathrm{Lip}(f):=\sup\left\{\left.\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\right|\:x,y\in\mathbb{R}^n,x\neq y\right\} \]

为Lipschitz常数

定理2.3.2.
设函数\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) 是Lipschitz连续函数\(,A\subset\mathbb{R}^{n},0\leq s < \infty\) ，则

\[\mathcal{H}^{s}(f(A))\leq(\mathrm{Lip}(f))^{s}\mathcal{H}^{s}(A) \]

证明： 固定\(\delta > 0\) ，取\(\{C_i\}\) 使得 \(A\subset\cup C_i\),diam\(C_i\leq\delta\) ，因此：

\[\mathrm{diam}f\left(C_{i}\right)\leq\mathrm{Lip}(f)\mathrm{diam}C_{i}\leq\mathrm{Lip}(f)\delta,f(A)\subseteq\cup_{i=1}^{\infty}f\left(C_{i}\right). \]

因此：

\[\begin{aligned} \mathcal{H}_{\mathrm{Lip}(f)\delta}^{s}(f(A))& \leq\sum_{i=1}^{\infty}\alpha(s)\left(\frac{\mathrm{diam}f\left(C_{i}\right)}{2}\right)^{s} \\ &\leq\left(\mathrm{Lip}(f)\right)^{s}\sum_{i=1}^{\infty}\alpha(s)\left(\frac{\mathrm{diam}C_{i}}{2}\right)^{s} \end{aligned}\]

于是

\[\mathcal{H}_{\mathrm{Lip}(f)\delta}^{s}(f(A))\leq(\mathrm{Lip}(f))^{s}\mathcal{H}_{\delta}^{s}(A) \]

令\(\delta\to0\) 即得所证

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考虑Lip函数数\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) 的图像

\[G(f;A):=\{(x,f(x))\mid x\in A\}\subset\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m=\mathbb{R}^{n+m}; \]

定理2.3.3.
假设\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) ，并且\({\mathcal{L}}^n(A) > 0\) ，则：

\[H_{\dim}(G(f;A))\geq n. \]

特别的，如果\(f\) 是Lip连续的，则\(H_{\dim}(G(f;A))=n\)

证明.1.设\(P:\mathbb{R}^{n+m}\to\mathbb{R}^n\) 是Lip函数，因此根据前边的定理就有

\[\mathcal{H}^n(G(f;A))\geq\mathcal{H}^n(A)>0 \]

2.如果\(f\) 还是Lip连续的.设\(Q\) 是\(\mathbb{R}^n\) 中单位立方体，将其分解为\(k^n\) 个小立方体每个边长为\(\frac{1}{k}\) ，因此\(\dim Q_i=\frac{\sqrt n}k\) 定义

\[a_j^i:=\min_{x\in Q_j}f^i(x),b_j^i:=\max_{x\in Q_j}f^i(x) \]

因为\(f\) 是Lip的，所以

\[\left|b_j^i-a_j^i\right|\leq\mathrm{Lip}(f)\mathrm{diam}Q_j=\mathrm{Lip}(f)\frac{\sqrt{n}}{k}. \]

3.令

\[C_i:=Q_j\times\prod_{i=1}^m\left(a_j^i,b_j^i\right) \]

于是

\[\begin{Bmatrix}(x,f(x))\mid x\in Q_j\cap A\end{Bmatrix}\subseteq C_j \]

并且diam\(C_j< \frac Ck\) 因为

\[G(f;A\cap Q)\subseteq\cup_{j=1}^{k^n}C_j \]

故

\[\mathcal{H}_{\frac{c}{k}}^n(G(f;A\cap Q))\leq\sum_{j=1}^{k^n}\alpha(n)\left(\frac{\mathrm{diam}C_j}{2}\right)^n \]

\(k\to\infty\) ，于是\(\mathcal{H}^n(G;A\cap Q)<\infty\Rightarrow H_{\mathrm{dim}}(G(f;A\cap Q))\leq n\) ，于是\(H_{\dim}(G(f;A))\leq n\)

参考文献

F. Maggi. Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems: An Introduction to Geometric Measure Theory. 2012.

L. C. Evans and R. F. Gariepy. Measure Theory and Fine Properties of Functions, Revised Edition.