Sobolev空间四

3 嵌入定理

3.1. Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式

定义 24. (Sobolev共轭指数) 设 \(1 \leq p < n\), 我们称 \(p^{\star}=\frac{n p}{n-p}\) 为 \(p\) 的Sobolev对偶指标.

显然:

\[\frac{1}{p^{\star}}=\frac{1}{p}-\frac{1}{n} \Rightarrow p^{\star} > p \]

定理 25. (Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式) 设 \(1 \leq p < n\), 那么存在 \(C=C(n, p) > 0\), 使得:

\[\|u\|_{L^{p^{\star}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leq C|| D u \|_{L^{p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)}, u \in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \]

证明:(1): 先考虑 \(p=1\) 的情况. 由于 \(u\) 具有紧致集, 因此对于任意的 \(1 \leq i \leq n\), 我们有:

\[u(x)=\int_{-\infty}^{x_{i}} u_{x_{i}}\left(x_{1}, \cdots, x_{i-1}, y_{i}, x_{i+1}, \cdots, x_{n}\right) d y_{i} \]

因此:

\[|u(x)| \leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left|D u\left(x_{1}, \cdots, x_{i-1}, y_{i}, x_{i+1}, \cdots, x_{n}\right)\right| \mathrm{dy}_{i}, 1 \leq i \leq n \]

因此我们有:

\[|u(x)|^{\frac{n}{n-1}} \leq \prod_{i=1}^{n}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\left|D u\left(x_{1}, \ldots, y_{i}, \ldots, x_{n}\right)\right| d y_{i}\right)^{\frac{1}{n-1}} \]

我们主次对两边 \(x_{i}, 1 \leq i \leq n\) 进行积分, 由于每次右端都有一项与对应的积分变量无关, 因此可以移到外边, 然后我们利用Holder不等式,

\[\begin{aligned} \|u\|_{\frac{n}{n-1}} & \leqslant\left(\prod_{i=1}^{n} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left|\mathrm{D}_{i} u\right| \mathrm{d} \boldsymbol{x}\right)^{\frac{1}{n}} \leqslant \frac{1}{n} \int_{\mathbb{R}^{n}} \sum_{i=1}^{n}\left|\mathrm{D}_{i} u\right| \mathrm{d} \boldsymbol{x} \\ & \leqslant \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{\mathbb{R}^{n}}|\mathrm{D} u| \mathrm{d} \boldsymbol{x}=\frac{1}{\sqrt{n}}\|\mathrm{D} u\|_{L^{1}}, \end{aligned} \]

其中, \(|\mathrm{D} u|=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|\mathrm{D}_{i} u\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\). 这里用到不等式

\[\left(a_{1} \cdots a_{n}\right)^{\frac{1}{n}} \leqslant \frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n}, \quad a_{i} \geqslant 0, i=1, \cdots, n \]

\[\sum_{i=1}^{n} a_{i} \leqslant \sqrt{n}\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}, \quad a_{i} \geqslant 0 \]

所有对 \(p=1\) 我们证明了结论. 下边我们证明对一般的 \(1 \leq p < n\) 都是成立的.

\((2)\) : 应用 \(p=1\) 的结果, \(\gamma\) 待定.

\[\left\|u^{\gamma}\right\|_{\frac{n}{n-1}} \leq\left.\left.\int|D| u\right|^{\gamma}\left|x=\gamma \int\right| u\right|^{\gamma-1}|D u| \mathrm{dx} \leq \gamma\left(\int|u|^{(\gamma-1) \frac{p}{p-1}} d x\right)^{\frac{p-1}{p}} \times \int\left(|D u|^{p} d x\right)^{\frac{1}{p}} \]

我们希望：

\[\frac{\gamma n}{n-1}=(\gamma-1) \frac{p}{p-1}, \frac{n-1}{n}-\frac{p-1}{p}=\frac{1}{p^{\star}} \]

我们发现确实可以解出来 \(\gamma=\frac{p(n-1)}{n-p} >1\), 于是命题得证. 故:

\[\|u\|_{p^{\star}} \leq \gamma\|D u\|_{p} \]

定理 26. (嵌入定理, \(1 \leqslant p < \infty)\) 设 \(U\) 是 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的有界 \(C^{1}\) 类区域, \(1 \leq p < n\). 则对任何 \(u \in W^{1, p}(U)\) 必 有 \(u \in L^{p^{*}}(U)\), 并且存在正常数 \(C=C(U, n, p)\) 使得

\[\|u\|_{L^{p^{\star}}(U)} \leq C\|u\|_{W^{1, p}(U)}, \quad \forall u \in W^{1, p}(U) \]

证明: 由于 Sobolev不等式的证明是针对 \(u \in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\), 现在我们要将其延拓到 \(W^{1, p}(U)\) 中考虑问题, 由于边界的光滑性我们知道可以将 \(W^{1, p}(U)\) 延拓到 \(W^{1, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\). 即存 在延拓算子 \(E\) 使得:

\[\left\{\begin{array}{l} E u \in W^{1, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right), \\ E u(x)=u(x), x \in U, \quad E u \text { 具有紧支集, } \\ \|E u\|_{W^{1, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leq C\|u\|_{W^{1, p}(U)} . \end{array}\right. \]

注意到 \(E u \in W^{1, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\), 因此我们可以取 \(u_{m} \in C_{0}^{\infty}\) 逼近 \(u\), 即:

由定理 25 我们知道对 \(m, l \geq 1\) 我们有

\[\left\|u_{m}-E u\right\|_{W^{1, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \rightarrow 0 \]

因此

\[|| u_{m}-u_{l}||_{L^{p^{*}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leq C\left\|D u_{m}-D u_{l}\right\|_{L^{p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \]

又因为:

\[u_{m} \rightarrow E u, L^{p^{\star}}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \]

故我们可以得到:

\[\left\|u_{m}\right\|_{L^{p^{*}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leq C|| D u_{m} \|_{L^{p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \]

注意到:

\[\|E u\|_{L^{p^{\star}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leq C\|D(E u)\|_{L^{p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \]

\[\|u\|_{L^{p^{\star}}(U)} \leq\|E u\|_{L^{p^{\star}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \]

综合上式,我们就可以得到:

\[\|E u\|_{L^{p^{\star}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leq C\|D(E u)\|_{L^{p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leq C\|E u\|_{W^{1, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leq C C^{\prime}|| u \|_{W^{1, p}(U)} \]

\[\|u\|_{L^{p^{\star}}(U)} \leq C\|u\|_{W^{1, p}(U)}, \quad \forall u \in W^{1, p}(U) \]

如果 \(u \in W_{0}^{k, p}\), 还有更好的结论.

定理 27. (嵌入定理 \({ }^{\prime}, 1 \leqslant p<\infty\) ) 设 \(U \subset \mathbb{R}^{n}\) 是有界开集, 又设 \(1 \leq p < n\). 则对任何 \(q \in\left[1, p^{\star}\right]\), 存在正 常数 \(C=C(U, n, p, q)\) 使得

\[\|u\|_{L^{q}(U)} \leq C\|D u\|_{L^{p}(U)}, \quad \forall u \in W_{0}^{1, p}(U) \]

由于此时 \(u \in W_{0}^{1, p}(U)\), 因此我们不必按照边界光滑情况的延拓算子定理, 直接将 \(u\) 零延拓就可以了!

因此我们对于任意的 \(u \in W_{0}^{1, p}(U)\), 存在 \(u_{m} \in C_{0}^{\infty}(U)\), 使得:

\[u_{m} \rightarrow u \text { in } W^{1, p}(U) \]

将 \(u_{m}\) 零延拓到 \(\mathbb{R}^{n}\) 中, 那么由Sobolev 不等式以及嵌入定理 1 的证明过程就可以得到:

\[\|u\|_{L^{p^{\star}}(U)} \leq C\|D u\|_{L^{p}(U)} \]

再由边界有界性, 我们就可以得到: 对 \(1 \leq q \leq p^{\star}\) ， 由 \(|U|<\infty\) 和Hölder不等式即得 \(\|u\|_{L^{q}(U)} \leq C\|D u\|_{L^{p^{\star}}(U)}\).

现在我们将结论推广到一般的 \(W^{k, p}(U)\) 中.

定理 28. 设 \(U\) 是 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的有界开集, 边界是 \(C^{1}\) 的, 设 \(u \in W^{k, p}(U)\), 如果 \(k<\frac{n}{p}\), 那么 \(u \in L^{q}(U)\), 其中:

且我们有:

\[\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{k}{n} \]

其中 \(C=C(n, p, k, U)\).

\[\|u\|_{L^{q}(U)} \leq C\|u\|_{W^{k, p}(U)} \]

我们设 \(u \in W^{k, p}(U)\), 那么对任意的 \(|\alpha| \leq k\), 我们有 \(D^{\alpha} \in W^{0, p}(U)=L^{p}(U)\), 因此对任意的 \(|\beta| \leq|\alpha|-1\), 我们有 \(D^{\beta} \in W^{1, p}(U)\), 因此根据 \(W^{1, p}(U)\) 我们有:

\[\left\|D^{\beta} u\right\|_{L^{p^{*}}} \leq\left\|D^{\beta} u\right\|_{W^{1, p}(U)} \leq\|u\|_{W^{k, p}(U)}, \]

因此 \(u \in W^{k-1, p^{*}}\). 且 \(\|u\|_{W^{k-1, p *}} \leqslant C\|u\|_{W^{k, p}}\).

接着, 我们继续找对应的比 \(|\alpha|\) 小 2 的 \(u \in W^{k-2, p^{* *}}\), 其中 \(\frac{1}{p^{* *}}=\frac{1}{p^{*}}-\frac{1}{n}=\frac{1}{p}-\frac{2}{n}\), 然后一直做下去, 则可以得到我们想要的结果. 同时也可以反应出为什么系数会是这样!

3.2. Morrey不等式

下边看 \(n < p < \infty\) 的情况.

引理 29. 设 \(u \in C^{1}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\), 则对任意的 \(B(x, r)\), 都有:

\[\frac{1}{|B(x, r)|} \int_{B(x, r)}|u(y)-u(x)| \mathrm{dx} \leqslant C \int_{B(x, r)} \frac{|D u(y)|}{|y-x|^{n-1}} \mathrm{dy} \]

证明: 固定 \(\omega \in \partial B(0,1)\), 对 \(0 < s < r\), 我们有:

\[\begin{aligned} |u(x+s \omega)-u(x)| & =\left|\int_{0}^{s} \frac{d}{\mathrm{dt}} u(x+t \omega) d t\right| \\ & =\left|\int_{0}^{s} D u(x+t \omega) \cdot \omega d t\right| \\ & \leqslant \int_{0}^{s}|D u(x+t \omega)| \mathrm{dt} \end{aligned} \]

因此

\[\begin{aligned} \int_{\partial B(0,1)}|u(\boldsymbol{x}+s \boldsymbol{\omega})-u(\boldsymbol{x})| \mathrm{d} S_{\boldsymbol{\omega}} & \leqslant \int_{o}^{s} \int_{\partial B(0,1)}|\mathbf{D} u(\boldsymbol{x}+t \boldsymbol{\omega})| \mathrm{d} S_{\omega} \mathrm{d} t \\ & =\int_{0}^{s} \int_{\partial B(0,1)} \frac{|\mathbf{D} u(\boldsymbol{x}+t \boldsymbol{\omega})|}{t^{n-1}} d S_{\omega} t^{n-1} d t . \end{aligned} \]

令 \(y=x+t \omega\), 则 \(t=|x-y|\), 于是

\[\int_{\partial B(0,1)}\left|u(\boldsymbol{x}+s \boldsymbol{\omega})-u(\boldsymbol{x}) \mathrm{d} S_{\omega}\right| \leqslant \int_{B(\boldsymbol{x}, s)} \frac{|\mathbf{D} u(\boldsymbol{y})|}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^{n-1}} d \boldsymbol{y} \leqslant \int_{B(\boldsymbol{x}, r)} \frac{|\mathbf{D} u(\boldsymbol{y})|}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^{n-1}} d \boldsymbol{y}, \]

两边同时乘 \(s^{n-1}\), 对 \(s\) 从 0 到 \(r\) 进行积分, 于是就得到了:

\[\begin{aligned} \int_{B(x, r)}|u(\boldsymbol{y})-u(\boldsymbol{x})| \mathrm{d} \boldsymbol{y} & =\int_{0}^{r} \int_{\partial B(0,1)}|u(\boldsymbol{x}+s \boldsymbol{\omega})-u(\boldsymbol{x})| \mathrm{d} S_{\omega} s^{n-1} d s \\ & \leqslant \frac{r^{n}}{n} \int_{B(x, r)} \frac{|\mathbf{D} u(\boldsymbol{y})|}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^{n-1}} d \boldsymbol{y} \end{aligned} \]

于是引理得证。

定理 30. (Morrey不等式) 设 \(n < p \leq \infty\), 那么存在依赖 \(n, p\) 的正常数 \(C\), 使得:

对任意的 \(u \in C^{1}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \cap W^{1, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\), 其中 \(\gamma=1-\frac{n}{p} \in(0,1]\), 且:

\[\|u\|_{C^{0, \gamma}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leq C\|u\|_{W^{1, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \]

\[\|u\|_{C^{0, \gamma}\left(\mathbb{R}^{n}\right)}=\sup _{\substack{\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n} \\ \boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{y}}} \frac{|u(\boldsymbol{x})-u(\boldsymbol{y})|}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^{\gamma}}+\|u\|_{L^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \]

证明: 分两个证明, 一个是估计 esssup \(|u|\), , 一个是估计 \([u]_{C^{0, \gamma}}\).

(1): 首先我们有:

\[\begin{aligned} |u(x)| & \leqslant\left|\frac{1}{|B(x, 1)|} \int_{B(x, 1)}\right| u(x)-u(y)|\mathrm{dy}|+\left|\frac{1}{|B(x, 1)|} \int_{B(x, 1)}\right| u(y)|\mathrm{dy}| \\ & \leqslant C \int_{B(x, 1)} \frac{|D u(y)|}{|x-y|^{n-1}} d y+C\|u\|_{L^{p}} \\ & \leqslant C\|D u\|_{L^{p}} \cdot\left(\int_{B(x, 1)} \frac{\mathrm{dy}}{|x-y|^{(n-1) \cdot \frac{p}{p-1}}}\right)^{\frac{p-1}{p}}+C\|u\|_{L^{p}} \\ & \leqslant C\|u\|_{W^{1, p}} \end{aligned} \]

由于 \(p>n\), 因此 \(\frac{p}{p-1} \cdot(n-1) < n\), 故上述的积分是有意义的.

故我们可以得到:

\[ess sup |u|\le C\|u\|_{W^{1, p}} \]

(2): 对 Holder 半范进行估计. 令 \(r=|x-y|, W=B(x, r) \cap B(y, r)\). 因此:

\[\begin{aligned} &|u(\boldsymbol{x})-u(\boldsymbol{y})| \leqslant \oint_{W}|u(\boldsymbol{x})-u(\boldsymbol{z})| \mathrm{d} \boldsymbol{z}+\oint_{W}|u(\boldsymbol{y})-u(\boldsymbol{z})| \mathrm{d} \boldsymbol{z} \\ & \oint_{W}|u(\boldsymbol{x})-u(\boldsymbol{z})| \mathrm{d} \boldsymbol{z} \leqslant C(n) \oint_{B(\boldsymbol{x}, r)}|u(\boldsymbol{x})-u(\boldsymbol{z})| \mathrm{d} \boldsymbol{z} \\ & \leqslant C(n) \int_{B(\boldsymbol{x}, r)} \frac{|\mathbf{D} u(\boldsymbol{z})|}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}|^{n-1}} d \boldsymbol{z} \\ & \leqslant C(n)\left(\int_{B(\boldsymbol{x}, r)}|\mathbf{D} u(\boldsymbol{z})|^{p} d \boldsymbol{z}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{B(\boldsymbol{x}, r)} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{z}}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}|^{\frac{(n-1) p}{p-1}}}\right)^{1-\frac{1}{p}} \\ & \leqslant C(n) r^{1-\frac{n}{p}}\|\mathbf{D} u\|_{L^{p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \end{aligned} \]

因此我们可以得到:

\[|u(x)-u(y)| \leqslant C r^{1-\frac{n}{p}} \cdot\|D u\|_{L^{p}} \]

因此 \([u]_{C}{ }^{0,1-\frac{n}{p}} \leqslant\|u\|_{W^{1, p},}\), 综上, 定理得证.

定理 31. (嵌入定理 \(2, p < n \leqslant \infty)\) 设 \(\Omega\) 是 \(\mathbb{R}^{\mathrm{n}}\) 中的有界开集, 且 \(\partial \Omega \in C^{1}, n < p < \infty, u \in W^{1, p}(\Omega)\), 那么:

\[\|u\|_{C^{0, \gamma}(\bar{\Omega})} \leqslant C(n, p, \Omega)\|u\|_{1, p, \Omega} . \]

证明: 从定理的条件可以看出, 这里我们仍要将 \(u\) 给延拓到全区域上取: 即存在延拓算子 \(P: W^{1, p}(\Omega) \rightarrow W^{1, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\), 数满足:

对于 \(W^{1, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\) 中的元素, 我们可以用具有紧支集的光滑函数逼近, 设 \(u_{k} \in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \rightarrow P u\), 由 Morrey不等式我们可以得到:

\[\left\|u_{k}(\boldsymbol{x})-u_{k}(\boldsymbol{y})\right\| \leqslant C\left\|\left|u_{k}\right|\right\|_{W^{1, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)}|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^{1-\frac{n}{p}} \]

这意味着再任何有界区域上 \(\left\{u_{k}\right\}\) 是一直有界且等度连续的, 因此由Arzela定理可知存在子列 \(\left\{u_{k i}\right\}\) :

\[u_{k_{i}}(\boldsymbol{x}) \rightarrow v(\boldsymbol{x}), \quad i \rightarrow \infty \text { 在任何有界区域上一致成立 } \]

且函数满足:

\[\|v(\boldsymbol{x})-v(\boldsymbol{y})\| \leqslant C\|P u\|_{W^{1, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)}|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^{1-\frac{n}{p}} \]

这意味着 \(v \in C^{0, \gamma}(\bar{\Omega})\). 且:

\[\lim _{k \rightarrow \infty}\left\|u_{k}\right\|_{C^{0, \gamma}(\bar{\Omega})}=\|v\|_{C^{0, \gamma}(\bar{\Omega})} \]

另外 \(\left\{u_{k_{i}}\right\}\) 作为 \(W^{1, p}(\Omega)\) 中的有界列, 必然存在子列几乎处处收玫到一个函数, 我们仍记为 \(\left\{u_{k_{i}}\right\}\), 即:

\[u_{k_{i}}(\boldsymbol{x}) \rightarrow u(\boldsymbol{x}), \quad i \rightarrow \infty \text { a.e. 于 } \Omega, \]

于是我们有 \(u(x)=v(x), a . e \in \Omega\), 从而等价于 \(u(x) \in C^{0, \gamma}(\bar{\Omega})\). 也就是说对于 \(W^{1, p}\) 中的元素,我们只要修改其在一个零测集上的定义,他就会落在对应的 Holder连续函数空 间中. 且:

\[\begin{aligned} \|u\|_{C^{0, \gamma}(\bar{\Omega})} & =\lim _{k \rightarrow \infty}\left\|u_{k}\right\|_{C^{0, \gamma}(\bar{\Omega})} \leqslant \lim _{k \rightarrow \infty}\left\|u_{k}\right\|_{C^{0, \gamma}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \\ & \leqslant C(n, p) \lim _{k \rightarrow \infty}\left\|u_{k}\right\|_{1, p, \mathbb{R}^{n}} \leqslant C\|u\|_{1, p, \Omega} . \end{aligned} \]

定理 32. 设 \(U\) 是 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的有界开集, 边界是 \(C^{1}\) 的, 设 \(u \in W^{k, p}(U)\), 如果 \(k>\frac{n}{p}\), 那么就有修改 \(u\) 在一个零测集上的定义后:

其中:

\[u \in C^{k-\left[\frac{n}{p}\right]-1, \gamma}(\bar{U}) \]

\[\gamma=\left\{\begin{array}{l} {\left[\frac{n}{p}\right]+1-\frac{n}{p}, \text { 若 } \frac{n}{p} \text { 不是整数 }} \\ \text { 任何小于 } 1 \text { 的正数, 若 } \frac{n}{p} \text { 是整数 } \end{array}\right. \]

证明: (1) 我们先证明第一种情况, \(n / p\) 不是整数. 取 \(l=[n / p]\), 那么 \(l p < n < (l+1) p\), 对任意的 \(u \in W^{k, p}(U)\), 当 \(|\beta| \leq k-l\), 我们有: \(D^{\beta} i \in W^{l, p}(U)\), 由 \(k < n / p\) 的 Sobolev不等式可以得到: \(D^{\beta} u \in L^{r}(U)\), 且:

\[\left\|D^{\beta} u\right\|_{L^{r}(U)} \leq C\left\|D^{\beta} u\right\|_{W^{l, p}(U)}, \frac{1}{r}=\frac{1}{p}-\frac{l}{n} \]

因此:

\[u \in W^{k-l, r}(U), \quad\|u\|_{W^{k-l, r}(U)} \leq C\|u\|_{W^{k, p}(U)} \]

注意到 \(r=\frac{n p}{n-l p} > p\), 因此当 \(|\alpha| \leq k-l-1\), 我们有: \(D^{\alpha} u \in C^{0,1-\frac{n}{r}}(\bar{U})\), 并且:

\[\left|D^{\alpha} u\right|_{C^{0,1-\frac{n}{r}(\bar{U})}} \leq C\left|D^{\alpha} u\right|_{W^{1, r}(U)} \leq C\|u\|_{W^{k, p}(U)} . \]

但是 \(1-\frac{n}{r}=1-\frac{n}{p}+l=\left[\frac{n}{p}\right]+1-\frac{n}{p}\), 因此

\[u \in C^{k-\left[\frac{n}{p}\right]-1,\left[\frac{n}{p}\right]+1-\frac{n}{p}}(\bar{U})=C^{k-\left[\frac{n}{p}\right]-1, \gamma}(\bar{U}), \]

(2): 当 \(n / p\) 为整数时, 我们取 \(l=n / p-1\), 此时 \(r=\frac{n p}{n-l p}=n\), 类似前面的证明我们知道 \(u \in W^{k-l, r}(U)\), 因此:

\[|\alpha| \leq k-l-1=k-\left[\frac{n}{p}\right] \]

我们有 \(D^{\alpha} u \in W^{1, r}(U)=W^{1, n}(U)\). 以及: 对任何 \(n < q < \infty\) 有 \(D^{\alpha} u \in L^{q}(U)\) 且

\[\left|D^{\alpha} u\right|_{L^{q}(U)} \leq C\left|D^{\alpha} u\right|_{W^{1, r}(U)} \leq C\|u\|_{W^{k-l, r}(U)} . \]

上边的式子蕴含着, 显对任何 \(q \in(n, \infty)\) 和 \(|\beta| \leq k-\left[\frac{n}{p}\right]-1\) 有

\[D^{\beta} u \in W^{1, q}(U), \quad\left|D^{\beta} u\right|_{W^{1, q}(U)} \leq C\|u\|_{W^{k, p}(U)} \]

因此 \(D^{\beta} u \in C^{0,1-\frac{n}{q}}(\bar{U})(n < q < \infty)\), 且:

\[\left|D^{\beta} u\right|_{C^{0,1-\frac{n}{q}}(\bar{U})} \leq C\|u\|_{W^{k, p}(U)} \]

其中 \(|\beta| \leq k-\left[\frac{n}{p}\right]-1\), 而 \(n < q < \infty\) 任意.

注: 如果是空间 \(W_{0}^{k, p}(U)\), 则不需要对 \(U\) 的边界做任何限制就可以得到对应的嵌入定理.

3.3 Reliich-Kondrachov 紧嵌入定理

定理 33. (Reliich-Kondrachov紧嵌入定理) 设 \(\Omega\) 是 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的有界开子集, \(\partial \Omega \in C^{1}\), 又设 \(1 \leqslant p < n\), 则对任何 \(1 \leqslant q < p *=\frac{p n}{n-p}\), 嵌入 \(W^{1, p}(\Omega) \hookrightarrow L^{q}(\Omega)\) 是紧 的.(我们用 \(\hookrightarrow\) 表示紧嵌入).

(1): 嵌入是连续的, 由于 \(\Omega\) 的有界性是, 我们知道 \(L^{p^{*}}\) 可以连续嵌入 \(L^{p}\) 中, 因此:

\[\|u\|_{L^{q}(\Omega)} \leqslant C(\Omega)\|u\|_{W^{1, p}(\Omega)} . \]

接下来我们证明 \(W^{1, p}(\Omega)\) 中的有界集 \(\left\{u_{m}\right\}\) 被映成了 \(L^{q}(\Omega)\) 中的准紧集

(2): 由于边界的光滑性,我们可以利用延拓定理和逼近定理,将问题转换为 \(\mathbb{R}^{n}\) 上的问题,设 \(\Omega=\mathbb{R}^{n},\left\{u_{m}\right\}\) 在 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的某个开子集 \(V\) 是有界的,即：

\[\sup _{m} \| u_{m} \|_{W^{1, p}(V)}<+\infty \]

(3): 研究磨光后的函数列:

\[u_{m}^{\varepsilon}=\rho_{\varepsilon} * u_{m}, \quad \varepsilon>0, m=1,2 \cdots, \]

证明在 \(L^{q}\) 中 \(u_{m}^{\varepsilon}\) 能够一致逼近 \(u_{m}\), 我们取 \(\varepsilon\) 充分小使得其在 \(V\) 中具有紧支集, 如果 \(u_{m}\) 是可导的, 那么我们就有:

\[\begin{aligned} u_{m}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x})-u_{m}(\boldsymbol{x}) & =\int_{B(0,1)} \rho(\boldsymbol{y})\left(u_{m}(\boldsymbol{x}-\varepsilon \boldsymbol{y})-u_{m}(\boldsymbol{x})\right) \mathrm{d} \boldsymbol{y} \\ & =\int_{B(0,1)} \rho(\boldsymbol{y}) \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} u_{m}(\boldsymbol{x}-\varepsilon t \boldsymbol{y}) \mathrm{d} t d \boldsymbol{y} \\ & =-\varepsilon \int_{B(0,1)} \rho(\boldsymbol{y}) \int_{0}^{1} \mathrm{D} u_{m}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\varepsilon} \boldsymbol{y}) \boldsymbol{y} \mathrm{d} t d \boldsymbol{y} . \end{aligned} \]

两边积分:

\[\begin{aligned} \int_{V}\left|u_{m}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x})-u_{m}(\boldsymbol{x})\right| \mathrm{d} \boldsymbol{x} & \leqslant \varepsilon \int_{B(0,1)}\left(\rho(\boldsymbol{y}) \int_{0}^{1} \int_{V}\left|\mathrm{D} u_{m}(\boldsymbol{x}-\varepsilon t \boldsymbol{y})\right| \mathrm{d} \boldsymbol{x} \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} \boldsymbol{y} \\ & \leqslant \varepsilon \int_{V}\left|\mathrm{D} u_{m}(\boldsymbol{z})\right| \mathrm{d} \boldsymbol{z} \end{aligned} \]

然后使用逼近定理, 我们就知道对于一般的 \(u_{m} \in W^{1, p}(U)\) 结论也是成立的. 且我们有:

\[\left\|u_{m}^{\varepsilon}-u_{m}\right\|_{L^{1}(V)} \leq \varepsilon\left\|D u_{m}\right\|_{L^{1}(V)} \leq C \varepsilon\left\|D u_{m}\right\|_{L^{p}(V)} \]

因为 \(1 \leq q < p^{*}\), 因此我们用 \(L^{p}\) 中的揷值不等式,我们就有:

\[\|u\|_{L^{q}(\Omega)} \leqslant\|u\|_{L^{1}(\Omega)}^{\theta}\|u\|_{L^{p^{*}}(\Omega)}^{1-\theta}, \quad \frac{1}{q}=\theta+\frac{1-\theta}{p^{*}}, \theta \in(0,1), 1 \leqslant q < p^{*} \]

因此:

\[\left\|u_{m}^{\varepsilon}-u_{m}\right\|_{L^{q}(V)} \leqslant\left\|u_{m}^{\varepsilon}-u_{m}\right\|_{L^{1}(V)}^{\theta}\left\|u_{m}^{\varepsilon}-u_{m}\right\|_{L^{p^{w^{*}}(V)}}^{1-\theta} \]

借助Sobolev 不等式我们就可以得到:

\[\left\|u_{m}^{\varepsilon}-u_{m}\right\|_{L^{q}(V)} \leqslant C\left\|u_{m}^{\varepsilon}-u_{m}\right\|_{L^{1}(V)}^{\theta}, \]

(4): 下边我们证明光滑函数列是等度连续且一致有界.

一致有界性:

\[\left|u_{m}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x})\right| \leqslant \int_{B(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varepsilon})} \rho_{\varepsilon}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\left|u_{m}(\boldsymbol{y})\right| \mathrm{d} \boldsymbol{y} \leqslant\left\|\rho_{\varepsilon}\right\|_{L^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right)}|| u_{m} \|_{L^{1}(V)} \leqslant \frac{C}{\varepsilon^{n}}<+\infty, \]

等度连续: 证明导数是有界的.

\[\begin{aligned} \left|\mathrm{D} u_{m}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x})\right| & \leqslant \int_{B(\boldsymbol{x}, \varepsilon)}\left|\mathrm{D} \rho_{\varepsilon}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}) \| u_{m}(\boldsymbol{y})\right| \mathrm{d} \boldsymbol{y} \\ & \leqslant\left\|\mathrm{D} \rho_{\varepsilon}\right\|_{L^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right)}|| u_{m} \|_{L^{1}(V)} \leqslant \frac{C}{\varepsilon^{n+1}}<+\infty, \quad \forall m=1,2 \cdots \end{aligned} \]

(5): 证明 \(u_{m}^{\varepsilon}\) 的有限网就是 \(u_{m}\) 的有限网 (当然这两个网的尺度会不同.) 固定 \(\delta>0\), 我们要证明证明存在 \(\left\{u_{m}\right\}\) 的子列 \(\left\{u_{m_{j}}\right\}\) 使得:

\[\lim _{j, k \rightarrow \infty} \sup \left\|u_{m_{j}}-u_{m_{k}}\right\|_{L^{q}(V)} \leqslant \delta \]

此时我们需要利用 \(u_{m}^{\varepsilon}\) 在 \(L^{q}(V)\) 中能够一致逼近 \(u_{m}\), 借助(3)中我们得到的不等式可以取充分小 \(\varepsilon>0\) 使得:

\[\left\|u_{m}^{\varepsilon}-u_{m}\right\|_{L^{q}(V)} \leqslant \frac{\delta}{2}, \quad \forall m=1,2, \cdots . \]

注意到 \(\left\{u_{m}^{\varepsilon}\right\}\) 的等度连续和一致有界性,因此我们有:

\[\lim _{j, k \rightarrow \infty} \sup \left\|u_{m_{j}}^{\varepsilon}-u_{m_{k}}^{\varepsilon}\right\|_{L^{q}(V)}=0 \]

利用三角不等式就可以得到:

\[ \lim _{j, k \rightarrow \infty} \sup \left\|u_{m_{j}}-u_{m_{k}}\right\|_{L^{q}(V)} \leqslant \delta \]

(6): 取 \(\delta=1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots\), 使用标准的对角法讨论可选取子 列 \(\left\{u_{m_{l}}\right\}_{l=1}^{\infty} \subset\left\{u_{m}\right\}_{m=1}^{\infty}\) 满足

由 \(L^{q}(V)\) 的完备性知 \(\left\{u_{m_{l}}\right\}_{l=1}^{\infty}\) 的收敛性.

\[\lim _{j, k \rightarrow \infty} \sup \left\|u_{m_{l}}-u_{m_{k}}\right\|_{L^{q}(V)}=0 . \]