分布理论读书笔记二:分布上的运算

3.分布的运算

3.1:分布的收敛

定义1: 设\(\{u_j\}\subset \mathscr{D}'(X)\),成\(u_j\)在\(\mathscr{D}'(X)\)收敛到\(u\)是指:对任意的\(\phi\in C_0^{\infty}(X)\),都有:

\[\langle u_j,\phi\rangle\to \langle u,\phi\rangle \]

注: 从泛函的角度可以理解这是一种弱* 收敛.

例2: 取\(u_m=e^{imx},m=0,\cdots,n,\cdots\).则\(u_m\)在\(\mathscr{D}'(\mathbb{R})\)收敛到0.

证明:

\[\left\langle u_m, \phi\right\rangle=\int \phi(x) \mathrm{e}^{\mathrm{i} m x} \mathrm{~d} x=-\frac{1}{\mathrm{i} m} \int \phi^{\prime}(x) \mathrm{e}^{\mathrm{i} m x} \mathrm{~d} x\to 0, \quad \phi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}), \]

可见作为分布\(u_m\)收敛到0.

注: 可以看出即使作为函数\(f_j\)不是逐点收敛到\(f\)的,但是作为分布是可能收敛到\(f\)的.

例3: 设\(f\in C^0(\mathbb{R})\)的支集位于\([0,1]\),且\(\int f\mathrm{d}x=1\).记\(f_k(x)=kf(kx)\),则\(f_k(x)\)作为分布收敛到\(\delta\)函数.

证明: 对任意的\(\phi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})\),我们有:

\[\left|\left\langle f_k, \phi\right\rangle-\phi(0)\right| \leqslant\left(\int|f(x)| \mathrm{d} x\right) \sup \{|\phi(x)-\phi(0)|: 0 \leqslant x \leqslant 1 / k\} \]

因此\(f_k\to \delta(\mathscr{D}'(\mathbb{R}))\).

注: 可以看出对于某个固定的\(x\in \mathbb{R}\),\(f_k(x)\)收敛到0.

故从上述的两个例子可以看出逐点收敛和分布的收敛没有必然的关系.但是加上一个控制函数就可以得到一些好的结果:

定理4:
设\(\{f_j\}\subset L_{loc}^1(X)\)几乎处处收敛到函数\(f\),并且存在函数\(g\in L_{loc}^1(X)\)使得\(|f_j|\le g\),则\(f_j\)作为分布收敛到\(f\).

证明:
首先由\(L^p\)空间的知识我们知道\(f\in L_{loc}^1(X)\).因此\(f\)是一个分布.其次:

\[|(f_j,\phi)-(f,\phi)|\le \int|f_j-f|\cdot \phi \mathrm{d}x \]

由控制收敛定理可知当\(j\to \infty\),上式趋于0.故定理得证.

定理5:
设\(u_j\in \mathscr{D}'(X)\),并且:

\[ u(\phi)=\lim_{j\to \infty}u_j(\phi),\forall \phi\in C_0^{\infty}(X) \]

则\(u\in \mathscr{D}'(X)\).

证明:
取\(X\)的紧子集\(K\),此时\(C_0^{\infty}(K)\)是一\(F\)空间.其中半范为:

\[||\phi||_{\alpha}=\sup|\partial^{\alpha}\phi|,\phi\in C_0^{\infty}(K) \]

对每个\(u_j\)而言,根据分布的定义就有:

\[|\langle u_j,\varphi\rangle|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\mathrm{sup}|\partial^{\alpha}\varphi|,\forall \varphi\in C_c^{\infty}(K) \]

不过这里的\(C,k\)会依赖\(j\).对固定的\(\phi\)而言,我们知道\(u_j(\phi)\)是有界的,根据一致有界性定理我们可以找到与\(j\)无关的\(C,k\)使得：

\[|\langle u,\varphi\rangle|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\mathrm{sup}|\partial^{\alpha}\varphi|,\forall \varphi\in C_c^{\infty}(K) \]

因此根据分布的定义就知道\(u\in\mathscr{D}'(X)\).

3.2:分布的微分

定义6:
设\(u\in \mathscr{D}'(X)\),我们定义\(u\)的微分\(\partial_ku\)为:

\[(\partial_ku)(\phi):=-u(\partial_ku) (* 1 ) \]

这里给这里的定义一些注记:

1. 首先可以验证(* 1)}定义的分布是合理的.
2. 如果\(u\in C^1(X)\),那么按照:

\[ u(\phi):=\int u\cdot \phi \mathrm{d}x \]

得到的分布\(u\in \mathscr{D}'(X)\)的微分和\(\partial_ku\)按照上述形式定义的分布是相同的.

容易验证分布的微分是可以交换次序的:

\[(\partial_j\partial_k u)(\phi)=(\partial_k u)(\partial_j \phi)=u(\partial_j\partial_k \phi)=u(\partial_k\partial_j \phi)=(\partial_k\partial_ju)(\phi) \]

因此由于次序的可交换性我们可以迭代的定义高阶微分:

\[ (\partial^{\alpha}u)(\phi)=(-1)^{|\alpha|}u(\phi) \]

下边举一些简单的例子：

例7:[Heavisible function]
定义:

\[H(x)=\begin{cases} 1,x>0\\0,\le 0 \end{cases} \]

由于\(H(x)\)是局部可积函数,\(H(x)\in \mathscr{D}'(X)\).现在对其求导:

\[(H',\phi)=-(H,\phi')=-\int_{0}^{\infty}\phi'(x)\mathrm{d}x=\phi(0)=\delta(\phi) \]

由分布的唯一性可知:\(H'=\delta\).

继续计算\(\delta\)的微分.

\[(\partial_i\delta,\phi)=-(\delta,\partial_i\phi)=-\partial_i\phi(0) \]

定理8: 设\(X\)是\(\mathbb{R}\)中的一开集,并且\(u\in C^1(X\setminus \{x_0\})\).如果\(v=u',x\ne 0\),并且\(v\)在\(x_0\)的某个邻域内是可积的,则:

\[u(x_0\pm 0)=\lim_{x\to x_0\pm 0}u(x) \]

存在并且:

\[u'=v+(u(x_0+0)-u(x_0-0))\delta_{x_0} \]

证明: 假设\(x_0 < y\)并且\([ x_0 , y ]\subset X\),那么:

\[u(x)=u(y)-\int_x^y v(t)\mathrm{d}t,x_0 < x < y \]

因此可以得到\(u(x_0+0)\)存在,同理可以证明\(u(x_0-0)\)也是存在的.另外注意到:

\[\begin{align*} u'(\phi)&=-u(\phi')=\lim_{\varepsilon\to 0}-\int_{|x-_0|>\varepsilon}u(x)\phi'(x)\mathrm{d}x\\ &=\lim_{\varepsilon\to 0}\left(u(x_0+\varepsilon)\phi(x_0+\varepsilon)-(x_0-\varepsilon)\phi(x_0-\varepsilon)+\int_{|x-x_0|>\varepsilon}v(x)\phi(x)\mathrm{d}x\right) \end{align*} \]

其中\(\phi\in C_0^{\infty}\).故定理得证

3.3:分布的乘积

如果\(f\in C^{\infty}(X)\),则定义\(f\)和\(u\)的乘法为:

\[ (fu)(\phi):=u(f\phi),\phi\in C_0^{\infty}(X) \]

注:乘法的运算对\(f\in C^{\infty}(X)\)的要求是不可减少的,否则定义会出现不合理的地方,因为此时\(f\cdot \phi\)未必是$ C_0^{\infty}(X)$类的.

微分的四则法则对分布的乘积也是适用的,即:

\[ \partial_k (fu)=(\partial_k f)u+f(\partial_k u),f\in C^{\infty}(X),u\in \mathscr{D}'(X) \]

下边验证:

\[LHS\Rightarrow[\partial_k (fu)](\phi)=-(fu)(\partial_k \phi)=-u(f\partial_k\phi ) \]

\[RHS\Rightarrow[(\partial_k f)u](\phi)+[f(\partial_k u)](\phi)=u(\partial_k f \phi)+(\partial_k u)(f\phi)=u(\partial_k f \phi)-u(\partial_k (f\phi)) \]

故\(LHS=RHS\).

更一般的有:

定理9: 设\(u\in \mathscr{D}'(X),f\in C^{\infty},\alpha\)是一多重指标.则:

\[\partial^\alpha(f u)=\sum_{\beta+\gamma=\alpha} \frac{\alpha !}{\beta ! \gamma !} \partial^\beta f \partial^\gamma u . \]

当\(\alpha=0\)的时候是显然的,当\(|\alpha|=1\)的时候我们上边已经论述过了.完成归纳步骤即可.

现在我们给一个计算的例子:

例10: 计算\(f\delta\)以及\(\partial_i(f\delta)\).

\[\langle f\delta,\phi \rangle= \langle \delta,f \rangle=f\phi(0)=f(0)\cdot \phi(0) \]

因此

\[f\delta=f(0)\delta \]

另外:

\[\partial_i(f\delta)=(\partial_i f\phi)\delta+f\partial_i \delta \]

由于\(f\)是光滑函数因此\(\partial_i f\)是明确的,故\((\partial_i f)\delta=(\partial_i f)(0)\delta\).因此我们就得到了:

\[\partial_i(f\delta)=(\partial_i f)(0)\delta-f(0)(\partial_i\delta) \]

3.4. 分布的卷积

3.4.1. 分布与光滑函数的卷积

回忆我们之前在偏微分方程学习的卷积,如果\(u,\phi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)\),那么可以定义其卷积为:

\[(u*\phi)(x):=\int u(y)\phi(x-y)\mathrm{d}y \]

本章我们主要将我们前边学习的卷积推广到分布的卷积,即如果\(u_1,u_2\in \mathscr{D}'(\mathbb{R}^n)\)且至少有一个是在\(\mathscr{E}'(\mathbb{R}^n)\)中的,如何定义\(u_1* u_2?\).

首先我们先从\(u_1\in \mathscr{D}'(\mathbb{R}^n)\)以及\(\phi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)\)开始.

定义1:
如果\(u\in\mathscr{D}'(\mathbb{R}^n),\phi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)\),定义\(u\)和\(\phi\)的卷积为:

\[(u*\phi):=\langle u_y,\phi(x-y)\rangle \]

这里\(u_y\)的意思表示分布的对象是变量为\(y\)的函数,因此我们也习惯记为\(\langle u,\phi(x-\cdot)\rangle\).

现在我们将古典意义的卷积的性质推广到上述定义的卷积:

定理2:
如果\(u\in\mathscr{D}'(\mathbb{R}^n),\phi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)\),则\(u*\phi\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)\),并且:

\[\mathrm{supp}(u*\phi)\subset \mathrm{supp}(u)+\mathrm{supp}(\phi) \]

我们借助下边的一个引理可以证明该定理:

引理3:
如果\(\phi(x,y)\in C^{\infty}(X\times Y)\),\(u\in \mathscr{D}'(X\times Y)\),其中\(X\in \mathbb{R}^n\),\(Y\)是\(\mathbb{R}^m\)中的一开集,如果存在一紧支集\(K\subset X\),使得\(\phi(x,y)=0,x\notin K\),则映射:

\[y \to u(\phi(\cdot,y)) \]

是关于\(y\)的\(C^{\infty}\)函数且:

\[\partial^{\alpha}_yu(\phi(\cdot,y))=u(\partial^{\alpha}_y\phi(\cdot,y)). \]

证明:
固定一点\(y\in Y\),利用Taylor展开就得到了:

\[\phi(x,y+h)=\phi(x,y)+\sum h_j\partial_{y_j}\phi(x,y)+\psi(x,y;h) \]

且

\[\sup_{x}|\partial^{\alpha}_x\psi(x,y;h)|=O(|h|^2),h\to 0,\forall \alpha \]

因此:

\[u(\phi(\cdot,y+h))=u(\phi(\cdot,y))+\sum h_ju(\partial_{y_j}\phi(\cdot,y))+O(|h|^2) \]

因此\(y\to u(\cdot,y)\)是可微的且:

\[\partial_{y_j}u(\phi(\cdot,y))=u(\partial_{y_j}\phi(\cdot,y)) \]

归纳就可以证明结论

利用上边的引理我们就可以直接证明定理2.对于后者,如果\(u*\phi(x)\ne 0\iff x-y\in \mathrm{supp}(u)\Rightarrow x\in \mathrm{supp}(u)+ \mathrm{supp}(\phi).\)

下边是该卷积的一些性质:

定理4:
设\(u\in \mathscr{D}'(\mathbb{R}^n),\phi,\psi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n)\),则:

\[ (u*\phi)*\psi=u*(\phi*\psi) \]

该定理的证明也依赖于下边的定理:

引理5:
设\(\phi\in C_0^l(\mathbb{R}^n),\psi\in C_0^0(\mathbb{R}^n)\)则Riemann和:

\[ \sum_{k\in \mathbb{Z}^n}\phi(x-kh)h^n\psi(kh) \]

当\(h\to 0\),在\(C_0^l\)收敛到\(\psi*\phi\).

证明:
由于\(\phi(x-y)\cdot \psi(y)\)在其定义域上是一致连续的,因此一致收敛到\(\phi*\psi\).现在我们需要证明是在\(C_0^l\)中收敛.可以对其进行微分\(\partial^{\alpha},|\alpha|\le l\),我们其微分是一致收敛到\(\partial^{\alpha}(\phi*\psi)\),故根据\(C_0^l\)中收敛的定义定理得证.

回到定理4的证明:利用引理5我们就可以得到:

\[\begin{align*} u*(\phi*\psi)(x)&=\lim_{h\to 0}u\left(\sum\phi(x-\cdot-kh)h^n\psi(kh)\right)\\ &=\lim_{h\to 0}\sum\left((u*\phi)(x-kh)h^n\psi(kh)\right)=\int(u*\psi)(x-y)\psi(y)\mathrm{d}y \end{align*} \]

因此定理得证.

定理6:
设\(0\le \phi\in C_0^{\infty},\int \phi \mathrm{d}x=1\),如果\(u\in \mathscr{D}'(\mathbb{R}^n)\),则\(u_{\phi}:=u*\phi\in C^{\infty}\),并且当\(\mathrm{supp}\phi\to 0\)时\(u_{\phi}\)在\(\mathscr{D}'(\mathbb{R}^n)\)中收敛到\(u\).

证明:
首先我们先引入记号\(\hat{\psi}(x)=\psi(-x)\).注意到如下的事实:对于任意的\(\psi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)\),都有:

\[\langle u,\phi\rangle =(u*\hat{\psi}) (0) \]

因此我们就有:

\[\langle u_{\phi},\psi\rangle= (u_{\phi}*\hat{\psi})(0)=u*\phi*\hat{\psi}(0)=u*\hat{\psi}*\phi(0)=u(\hat{\phi}*\psi) \]

由于\(\phi,\psi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)\),所以当\(\mathrm{supp}\phi\to \{0\}\),\(\hat{\phi}*\psi\to \psi(C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n))\).

因此\(u_{\phi}(\psi)\to u(\psi)\).

下边的定理更进一步告诉我们即使对\(u\in \mathscr{D}'(X)\),结论也是成立的.

定理7:
如果\(u\in \mathscr{D}'(X)t\).则存在序列\(u_j\in C_c^{\infty}(X)\),使得\(u_j\to u (\mathscr{D}'(X))\).

证明:
首先选取序列\(\chi_i\in C_c^{\infty}(X)\)使得对任意\(X\)的紧子集当\(j\)充分大时都有\(\chi_j=1\).再取\(\phi_j\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)\),使得其满足定理6的假设并且其支集可以充分小使得:

\[\mathrm{supp}\phi_j+\mathrm{supp}\chi_j\subset X \]

并且当\(|x| < 1/j\)时,\(x\in \mathrm{supp}\phi_j\),于是就有\(\chi_ju\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)\subset \mathscr{E}'(\mathbb{R}^n)\).现在令:

\[u_j=(\chi_ju)*\phi_j \]

可以看出\(u_j\in C_0^{\infty}(X)\).取\(\psi\in C_c^{\infty}(X)\),仿照定理6的证明就可以得到:

\[u_j(\psi)=(\chi_iu)(\hat{\phi_j}*\psi)=u(\chi_j(\hat{\phi}_j*\psi)) \]

由于\(\hat{\phi}*\psi\)的支集当\(j\)充分大时位于\(\mathrm{supp}\psi\)的任意邻域内,因此\(\chi_j(\hat{\phi_j}*\psi)=\hat{\phi_j}*\psi\).故定理得证.

3.4.2:分布与分布的卷积

下边我们来定义分布之间的卷积.首先注意到如果\(u\in \mathscr{D}'(\mathbb{R}^n),\phi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)\),那么就有\(u*\phi\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)\).不难验证\(u*\phi\in \mathscr{E}(\mathbb{R}^n)\).

注意到如下事实,考虑\(\tau_h\)是平移算子,那么我们就有:

\[u*(\tau_h\phi)=\tau_h(u*\phi) \]

即平移算子和\(u*\)是可交换的.反之也是一样:

定理7:
设\(U\)是从\(C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n\)到\(C^{\infty}(\mathbb{R}^n)\)的序列连续的线性映射,即如果\(\phi_j\to 0(C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n)\),则\(U\phi_j\to 0(C^{\infty}(\mathbb{R}^n))\).如果\(U\)和平移算子之间是可交换的,则存在唯一的分布\(u\in \mathscr{D}'(\mathbb{R}^n)\)使得\(U\phi=u*\phi,\forall \phi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n)\).

首先我们给出记号\(\hat{\phi}:=\phi(-x)\).如果定理所言为真,那么:

\[U\phi(0)=(u*\phi)(0)=u(\phi(-y))=u(\hat{\phi}) \]

可以看出映射:

\[\phi\to (U\hat{\phi})(0) \]

是一个分布,我们将证明由上述定义的分布\(u\),正是定理中所说的分布.首先我们有\((U\phi)(0)=(u*\phi)(0)\),由于\(\tau_h\)可以和\(U\)交换因此:

\[(U \phi)(-h)=\left(\tau_h U \phi\right)(0)=\left(U \tau_h \phi\right)(0)=\left(u * \tau_h \phi\right)(0)=(u * \phi)(-h) \]

因此对任意的\(h\in \mathbb{R}^n\),都有:

\[U\phi(h)=u*\phi(h)\Rightarrow U\phi\equiv u*\phi \]

故定理得证.

下边我们就用上述得到的定理来定义分布之间的卷积.

假设\(u\in \mathscr{E}'(\mathbb{R}^n)\),那么映射\(u\to u*\phi\)就算从\(C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n)\to C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n)\)的一个连续线性映射.由于\(u\)具有紧支集因此\(\phi\)可以是\(C^{\infty}(\mathbb{R}^n)\).现在假设有两个分布\(u_1,u_2\),且至少一个具备紧支集,我们希望定义分布之间的卷积具有如下的性质：

\[(u_1*u_2)*\phi=u_1*(u_2*\phi),\phi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n) \]

事实上,由于映射:

\[\phi\to u_1*(u_2*\phi) \]

是一个线性的,平移不变的连续映射因此根据定理我们就知道存在唯一的\(u\in \mathscr{D}'(\mathbb{R}^n)\)使得:

\[u_1*(u_2*\phi)=u*\phi,\forall \phi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n) \]

定理8:
设\(u_1,u_2\)是两个分布且至少其中一个具备紧支集,定义\(u_1\)和\(u_2\)的卷积为上式成立的唯一分布.

定理9:
设\(u_1,u_2\)是两个分布且至少其中一个具备紧支集,则:

\[u_1*u_2=u_2*u_1 \]

并且：

\[\mathrm{supp}(u_1*u_2)=\mathrm{supp}u_1 +\mathrm{supp}u_2 \]

证明:
记\(u_1*u_2,u_2*u_1\)分别为\(v_1,v_2\),我们可以将定理归结为证明:

\[v_1(\phi*\psi)=v_2*(\psi*\phi) \]

然后根据定理4我们就有:

\[(v_1*\phi)*\psi=(v_2*\phi)*\psi \]

因此可以得到\(v_1*\phi=v_2*\phi\Rightarrow v_1=v_2\).

现在我们来证明\(v_1(\phi*\psi)=v_2*(\psi*\phi)\).证明主要是应用定理4:

\[\begin{aligned} \left(u_1 * u_2\right) *(\phi * \psi) & =u_1 *\left(u_2 *(\phi * \psi)\right)=u_1 *\left(\left(u_2 * \phi\right) * \psi\right) \\ & =u_1 *\left(\psi *\left(u_2 * \phi\right)\right)=\left(u_1 * \psi\right) *\left(u_2 * \phi\right) \end{aligned} \]

以及

\[\begin{aligned} \left(u_2 * u_1\right) *(\phi * \psi) & =\left(u_2 * u_1\right) *(\psi * \phi)=\left(u_2 * \phi\right) *\left(u_1 * \psi\right) \\ & =\left(u_1 * u_2\right) *(\phi * \psi) \end{aligned} \]

因此我们就得到了\(u_1*u_2=u_2*u_1\).同时我们有:

\[\operatorname{supp}\left(\left(u_1 * u_2\right) * \phi\right) \subset \operatorname{supp} u_1+\operatorname{supp} u_2+\operatorname{supp} \phi \]

令\(\mathrm{supp}\phi\to \{0\}\),根据定理6,定理得证.

3.5 张量积

设\(X_j\)是\(\mathbb{R}^{n_j}\)中的开集,如果\(u_j\in C(X_j)\),则定义函数\(u_1\otimes u_2\)为:

\[ (u_1\otimes u_2)(x_1,x_2)=u(x_1)\times u(x_2) \]

称其为\(u_1,u_2\)的张量积或者直积.现在我们要将两个函数的张量积延拓到分布的张量积,并使其保持如下的性质:

\[ (u_1\otimes u_2,\phi_1\otimes \phi_2)= \iint (u_1\otimes u_2)(\phi_1\otimes \phi_2)\mathrm{d}x\mathbb{d}y=\int u_1\phi_1\mathrm{d}x\int u_2\phi_2\mathrm{d}y=(u_1,\phi)\cdot(u_2,\phi_2) \]

现在定义分布的张量积:

定理1:
设\(u_j\in \mathscr{D}_j^{\prime}(X_j)\).则存在唯一的分布\(u\in \mathscr{D}'(X_1\times X_2)\)使得:

\[u(\phi_1\otimes \phi_2)=u_1(\phi_1)\cdot u_2(\phi_2) \]

其中

\[u(\phi)=u_1\left[u_2\left(\phi\left(x_1, x_2\right)\right)\right]=u_2\left[u_1\left(\phi\left(x_1, x_2\right)\right)\right], \phi \in C_0^{\infty}\left(X_1 \times X_2\right) \quad (**) \]

这里\(u_j\)作用于\(\phi(x_1,x_2)\)是指\(\phi(x_1，x_2)\)作为\(x_j\)的函数而固定另一个变量.如果\(u_j\in \mathscr{E}'\),则张量积可以针对\(\phi\in C^{\infty}\)定义.

证明:
唯一性:唯一性的证明可以归结为证明为：如果对任意的\(\phi_j\in C_0^{\infty}(X_j)\)都有:

\[u(\phi_1\otimes \phi_2)=0 \]

则\(u=0\)成立.

现在我们选取\(\psi_j\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^{n_j})\),且\(\psi_j\ge 0,\int \psi_j =1\),并且如果\(x_j\in \mathrm{supp}\psi_j ,\)则\(|x_j|\le 1\),取：

\[\Psi_{\varepsilon}(x_1,x_2)=\varepsilon^{-n_1-n_2}\psi_1(x_1/\varepsilon)\psi_2(x_2/\varepsilon) \]

根据上一节的定理6可知如果\(Y\subset\subset X_1\times X_2\),则\(u*\Psi_{\varepsilon}\to u(\mathscr{D}'(Y))\),但是因为\(u*\Psi_{\varepsilon}=0\),因此\(u=0(Y)\)由\(Y\)的任意性可知\(u=0\).

存在性:令\(K_j\)是\(X_j\)的紧子集,根据分布的定义我们知道:

\[\left|u_j\left(\phi_j\right)\right| \leqq C_j \sum_{|\alpha| \leqq k_j} \sup \left|\partial^\alpha \phi_j\right|, \quad \phi_j \in C_0^{\infty}\left(K_j\right) \]

如果\(\phi\in C_0^{\infty}(K_1\times K_2)\),那么记:

\[I_\phi\left(x_1\right)=u_2\left(\phi\left(x_1, .\right)\right) \]

注意到\(I_{\phi}\in C_0^{\infty}(K_1)\),并且根据上一节的引理3我们可以得到:

\[\partial_{x_1}^\alpha I_\phi\left(x_1\right)=u_2\left(\partial_{x_1}^\alpha \phi\left(x_1, .\right)\right) \]

因此:

\[\sup \left|\partial_{x_1}^\alpha I_\phi\left(x_1\right)\right| \leqq C_2 \sum_{|\beta| \leqq k_2} \sup \left|\partial_{x_1}^\alpha \partial_{x_2}^\beta \phi\left(x_1, x_2\right)\right| \]

再利用\(u_1\)的定义就知道:

\[\left|u_1\left(I_\phi\right)\right| \leqq C_1 C_2 \sum_{\left|\alpha_j\right| \leqq k_j} \sup \left|\partial_{x_1}^{\alpha_1} \partial_{x_2}^{\alpha_2} \phi\left(x_1, x_2\right)\right| . \]

现在就定义\(u(\phi):=u_1(I_{\phi})\),因此\(u\)满足定理所需.同时由于唯一性,还可以得到 (**) 是成立的.

同时注意到：

\[\mathrm{supp}(u_1\otimes u_2)\subset \mathrm{supp}u_1\times\mathrm{supp}u_2 \]

最后我们用一个公式来表示卷积和张量积之间的关系.

\[\langle u_1\otimes u_2,\phi(x_1+x_2)\rangle =\langle(u_1* u_2) ,\phi\rangle \]

证明:记\(\check{\phi}=\phi(-x)\),因此直接验证可得:

\[\langle u_2,\phi(x_1+x_2)\rangle =(u_2* \check{\phi})(-x_1) \]

两边同时用\(u_1\)作用就可以得到左侧和右侧分别为：

\[u_1*（u_2*\check{\phi})(0)=(u_1* u_2)* \check{\phi}(0) \]