分布理论读书笔记一:分布

1:分布的定义和性质

1.1: 基本空间$\mathscr{D}(X)$.

设$X$是$\mathbb{R}^n$空间中的一个开集,$u$是$X$上的一个函数,称:

\[F=\{x|u(x)\ne 0\} \]

的闭包为$u$关于$X$的支集,记为$\mathrm{supp}u$.

对$k\ge 0$,$C_0^{k}(X)$表示支集在$X$内紧的全体$C^{k}(\bar{X})$函数所组成的集合,显然我们有:

\[C_0^{\infty}(X)\subset \cdots\subset C_0^{k+1}(X)\subset \cdots\subset C_0^0(X) \]

例1: $C_0^{\infty}(X)$非空.

函数$j(x):=\begin{cases} e^{-1/1-|x|^2},|x|<1\\0,|x|\ge 1 \end{cases}$

定义2(基本空间$\mathscr{D}(X)$) : 在集合$C_0^{\infty}(X)$中定义如下的收敛性:称$\{\varphi_j\}$在$C_0^{\infty}(X)$中收敛到$\varphi_0$是指:

(1):存在相对$X$的紧集$K\subset X$使得：
\[\mathrm{supp}(\varphi_j)\subset K \]
(2):对于任意的多重指标$\alpha$,都有:
\[\max_{x\in K}\left| \partial^{\alpha} \varphi_j(x)- \partial^{\alpha} \varphi_0(x)\right|\to 0,j\to \infty \]

带上述收敛性的线性空间$C_0^{\infty}(X)$称为基本空间$\mathscr{D}(X)$.

1.2:分布

定义3:$\mathscr{D}(X)$上的一切连续线性泛函都称为广义函数或者分布.即这样的泛函$u:\mathscr{D}(X)\to \mathbb{R}$或者是$\mathbb{C}$,满足:

(1): 线性;
(2): 对任意的$\{\varphi_j\}\subset \mathscr{D}(X)$,只要$\varphi_j\to \varphi_0(\mathscr{D}(X)$,都有
\[\left\langle f, \varphi_j\right\rangle \rightarrow\left\langle f, \varphi_0\right\rangle \quad(j \rightarrow \infty) . \]

一切广义函数所组成的集合记为$\mathscr{D}'(X)$.

另外常见的分布的等价定义还有：

定义3':$C_0^{\infty}(X)$上的一个线性泛函$u$被称为分布是指:对任意的紧子集$K\subset X$,都存在$C,k$使得:

\[|\langle u,\varphi\rangle|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\mathrm{sup}|\partial^{\alpha}\varphi|,\forall \varphi\in C_c^{\infty}(K) \]

显然这里的$C,k$都和$K$有关.

定理4(定义的等价性): 定义3和3'是等价的.

证明: 3'推3是显然的,我们证明另一个方向.

假设不然.则存在紧集$K$,对任意的$j\in \mathbb{N}^* $,可以找到$\phi_N$:

\[|\langle u,\phi_N\rangle|/\sum_{|\alpha|\le N}\sup |\partial^{\alpha}\phi_N|\ge N,\phi_N\in C_c^{\infty}(K) \]

我们取：

\[\psi_N(x):=\phi_N(x)/\sum_{|\alpha|\le N}\sup |\partial^{\alpha}\phi_N| \cdot \frac{1}{N} \]

因此：

\[\sup_{x\in K}|\partial^{\alpha}\psi_N|\le \frac{1}{N} \]

因此$j\to \infty$是,$\psi_N$在$\mathscr{D}(X)$中收敛到0,从而：

\[\langle u,\psi_N \rangle\to 0 \]

但是

\[|\langle u,\psi_N \rangle|\ge 1 \]

因此得到了矛盾.故定理得证.

1.3:分布的例子

例5($\delta$函数/Dirac分布): 定义：

\[\langle \delta ,\phi\rangle =\phi(0),\forall \phi\in \mathscr{D}(\mathbb{R}^n) \]

容易验证$\delta\in \mathscr{D}'(\mathbb{R}^n)$.

另外我们用$\delta_y$表示这样的分布:

\[\langle \delta_y ,\phi\rangle =\phi(y),\forall \phi\in \mathscr{D}(\mathbb{R}^n) \]

例6(局部可积函数): 对任意的$f\in L_{loc}^1(\mathbb{R}^n)$,我们定义分布:

\[\langle f ,\phi\rangle =\int f\cdot \phi\mathrm{d}x,\phi\in \mathscr{D}'(\mathbb{R}^n) \]

现在我们验证这是一个分布:对任意的紧集$K$,我们都有:

\[|\langle f ,\phi\rangle |\le \sup_{x\in K}|\phi| \cdot \int_{K}|f|\mathrm{d}x \]

注: 因此任何一个局部可积函数我们均可以按照例6的方式看作是一个分布,以后如果我们称一个函数是分布,均是按照例6的这种方式定义.

1.4 :分布的阶数

定义7: 分布$u\in \mathscr{D}'(X)$被称为是有限阶的:如果对任意的紧子集$K\subset X$,都可以找到一个公共的$k\in \mathbb{N}$使得

\[|\langle u,\varphi\rangle|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\mathrm{sup}|\partial^{\alpha}\varphi|,\forall \varphi\in C_c^{\infty}(K) \]

成立.使得该式成立的最小正整数$k$称为$u$的阶数.阶数$\le m$的分布构成的向量空间我们记为$\mathscr{D}^{'m}(X)$.

它和一般的分布有一些关系:

定义8: 序列$\varphi_j\in C_c^{m}(X)$在$C_c^m(X)$收敛到$\varphi$是指:

1.存在一个相对$X$的紧集$K\subset X$使得:
$$
\mathrm{supp} (\varphi_j) \subset K
$$
2.对任意的多重指标$|\alpha| \le m$,都有:

\[\max_{x\in K} \left|\partial^{\alpha} \varphi_j(x)-\partial^{\alpha} \varphi(x)\right| \to 0 \]

定理9: 设$0\le m<\infty$,对$\mathscr{D}^{'m}(X)$上的分布$u$,可以唯一的延拓到$C_c^m(X)$上的序列连续线性泛函.反之,将$C_c^m(X)$上的连续线性泛函限制在$\mathscr{D}'(X)$上是$\mathscr{D}^{'m}(X)$中的一个元素.

证明: 对任意的$\psi\in C_0^k(X)$上我们可以寻找序列$\phi_j\in \mathscr{D}'(X)$,使得$\mathrm{supp}(\phi_j)\subset K_{\delta}\subset X$,其中$K_{\delta}$是$\mathrm{supp}\phi$的一个邻域使得:

\[\sum_{|\alpha|\le k}\sup|\partial^{\alpha}(\phi-\phi_j)|\to 0,j\to \infty \]

我们必须定义:$u(\phi):=\lim_{j\to \infty}u(\phi_j)$,极限是存在的,这是因为$u(\phi_j)$是一柯西列:

\[|u(\phi_j)-u(\phi_l)|=|u(\phi_j-\phi_l)|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\sup|\partial^{\alpha}(\phi_l-\phi_j)| \]

因此$u$的定义与序列的选取无关.直接可以验证这是一个分布,并且对$\phi\in C_c^k(X)$也是成立的,因此我们得到了这样定义的$u$是$C_c^k(X)$上的一个连续线性泛函.

注: 由此可见带有阶数的分布的作用对象可以推广到更大的空间($C_c^m(X)$).

例10: 设$x_0\in X$,定义$u\in\mathscr{D}^{'}(X)$为$u(\phi):=\partial^{\alpha}\phi(x_0)$,则$u$的阶数为$|\alpha|$.

证明: 首先可以看出$u$的阶数是小于等于$|\alpha|$的.因此我们证明对任意的$|\beta|<|\alpha|$阶数不会$\le |\beta|$.我们取$\psi\in \mathscr{D}^{'}(X)$,并且$\psi(0)=1,$记$\psi_{\delta}=(x-x_0)^{\alpha}\psi((x-x_0)/\delta)$,显然$u(\psi_{\delta})(0)=\alpha!$.并且:

\[\sup|\partial^{\beta}\psi_{\delta}|\le C|\delta|^{|\alpha|-|\beta|} \]

因此当$\delta\to 0$时,上述极限为0.故阶数不可能为$|\beta|$.

1.5:分布的支集

现在我们可以将函数的支集推广到分布：

定义11: 设$\mathscr{D}^{'}(X)$,$u$的支集$\mathrm{supp}u$定义为集合

\[\{x:u=0,\text{在}x\text{的某个邻域内}\} \]

的补集.

例12: $\delta$函数的支集是$\{0\}$.

证明:对任意的$x\ne 0$,存在$r$使得$B(x,r)\subset \mathbb{R}^n-\{0\}$,对任意的紧集$K\subset B(x,r)$我们都有：

\[(\delta,\phi)=\phi(0)=0 \]

因此$x$不在支集内.故支集为$\{0\}$.

定理13: 设$u\in \mathscr{D}^{'}(X)$,且$\phi\in C_c^{\infty}(X)$,若 $u$和$\phi$的支集不交,则$\langle u,\phi \rangle =0$.

证明: 即$K=\mathrm{supp}\phi$,对任意的$x\in K$,都存在$x$的邻域使$u$在该邻域为0.取$K$的一族有限开覆盖$X_1,\cdots,X_m$,以及单位分解$\psi_i$,因此我们就有:

\[|\langle u,\phi\rangle|=|\langle u,\sum_{i=1}^{m}\phi\psi_i\rangle|=\sum_{i=1}^{m}|\langle u,\phi\psi_i\rangle|=0 \]

因此定理得证.

推论14: 如果$u\in \mathscr{D}^{'}(X)$,并且在$X$的每个点的邻域都为0,则$u=0$.

2.具有紧支集的分布

2.1:定义

在上一节中,我们引入了分布的定义,从泛函的角度来看,可以看作是基本空间$\mathscr{D}(X)$上的连续线性泛函.或者可以用如下的条件判断:对任意的紧子集$K\subset X$,都存在$C,k$使得:

\[|\langle u,\varphi\rangle|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\mathrm{sup}|\partial^{\alpha}\varphi|,\forall \varphi\in C_c^{\infty}(K) \]

这里线性映射$u$的作用对象都是$C_0^{\infty}(X)$中的函数.

但是如果分布$u$具有紧支集,那么我们可以将$u$的作用对象推广到$C^{\infty}(X)$.取截断函数$\psi =1,x\in \mathrm{supp} u$,则:

\[u(\phi)=u(\psi\phi)+u((1-\psi)\phi)=u(\psi\phi),\forall \phi\in C^{\infty}(X) \]

根据分布的定义我们知道,存在$C,k$使得:

\[|u(\phi)|=|u(\psi\phi)|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\sup_{x\in K}|\partial^{\alpha}\phi|,\forall \phi\in C^{\infty}(X) \]

这里的$C$可以跟$\psi$有关.

反之,如果对任意的一个$C^{\infty}(X)$上的一个线性泛函,都存在$C,k$以及集合$L\subset X$使得:

\[||v(\phi)|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\sup_{x\in K}|\partial^{\alpha}\phi|,\forall \phi\in C^{\infty}(X) \]

那么$v$限制在$C_c^(\infty)(X)$上就算具有紧支集的分布,支集在$L$中.

下边从泛函的角度给出具有紧支集的分布的论述,首先引入空间$\mathscr{E}(X)$.

定义1[函数空间$\mathscr{E}(X)$]: 若$\phi_i\in C^{\infty}(X)$,且对一任意紧集$K\subset X$,以及任意的多重指标$\alpha$,都有:

\[\sup_{K}|\partial^{\alpha}\phi_i|\to 0 \]

则称$\phi_i$在$C^{\infty}(X)$中收敛到0.我们将带有上述收敛性的$C^{\infty}(X)$空间记为$\mathscr{E}(X)$.

定义2: $\mathscr{E}(X)$上的连续线性泛函所组成的线性空间记为$\mathscr{E}'(X)$.

按照我们上述的论述,将$\mathscr{E}'(X)$中的元素限制在$C_c^{\infty}(X)$中就得到了具有紧支集的分布.我们可以断言,所有具有紧支集的分布都可以是这里的元素限制在$C_c^{\infty}(X)$中得到.

定理3: 如果$u\in \mathscr{D}'(X)$具有紧支集,则存在$\mathscr{E}'(X)$中唯一的元素限制在$C_c^{\infty}(X)$等于$u$.

证明: $\Rightarrow$现在设$u\in \mathscr{D}'(X)$且具有紧支集,$\rho\in C_c^{\infty}(X)$,并且在$\mathrm{supp}u$的某个邻域内恒为1,则对于任意的$\phi\in C^{\infty}(X)$,我们可以定义$\tilde{u}\in \mathscr{E}'(X)$为:

\[\langle \tilde{u},\phi\rangle=\langle u,\rho \phi\rangle \]

现在证明这种构造的唯一性,设$\sigma$是另一$C_c^{\infty}(X)$中的函数,并且在$\mathrm{supp}u$的某个邻域内恒为1,则:

\[\langle u,\rho\phi-\sigma\phi\rangle =0 \]

因此我们指导对任意的$\phi\in C_c^{\infty}(X)$,都有$\langle \tilde{u},\phi\rangle=\langle u,\rho \phi\rangle$.

进一步,由于$\rho\phi$的紧支集包含中$\rho$的支集中($\rho$是选定的),因此:

\[|\langle \tilde{u},\phi \rangle|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\sup_{L}|\partial^{\alpha}\rho\phi|,\phi\in C^{\infty}(X) \]

根据莱布尼茨法则,我们可以将$C$修改为$C_{\rho}$,因此就得到了$u\in \mathscr{E}'(X)$.

推论4: 如果$u\in \mathscr{E}'(X)$,则$u$是有限阶的.

注意到,因为$u$具有紧支集,因此一般分布中对任意的$K\subset X$,中就可以修改为存在$K\subset X$,选定$K$,那么与之对应的$C,k$都可以固定下来,故$u$是有限阶的.

2.2:紧支集为单点集的分布

定理5: 如果$u\in\mathscr{E}'(X)$,并且阶数为$\le k$,且如果存在$\phi\in C^k(X)$使得:

\[\partial^{\alpha}\phi(x)=0,|\alpha|\le k,x\in \mathrm{supp}u \]

则$u(\phi)=0$.

证明: 我们选择$\chi_{\varepsilon}\in C_0^{\infty}(X)$,使得$\chi_{\varepsilon}=1$在$\mathrm{supp}u$的一个邻域,并且$\chi_{\varepsilon}$在:

\[M_{\varepsilon}:=\{y:|x_0-y|\le \varepsilon,x_0\in \mathrm{supp}u \} \]

外恒为1.并且$|\partial^{\alpha}\chi_{\varepsilon}|\le C|\varepsilon|^{-|\alpha|}$.

因为$u$和$(1-\chi_{\varepsilon}\phi)$的支集互不相交因此:

\[u(\phi)=u(\phi\chi_{\varepsilon})+u((1-\chi_{\varepsilon})\phi)=u(\phi\chi_{\varepsilon}) \]

利用分布的定义就得到了:

\[\begin{align*} |u(\phi)|\le& C\sum_{|\alpha|\le k}\sup|\partial^{\alpha}(\phi\chi_{\varepsilon})|\le C'\sum_{|\alpha|+|\beta|\le k}\sup|\partial^{\alpha}\phi|\cdot |\partial^{\alpha}\chi_{\varepsilon}|\\ \\&\le C^{''}\sum_{|\alpha|\le k}\varepsilon^{|\alpha|-k}\sup_{M_{\varepsilon}}|\partial^{\alpha}\phi| \end{align*} \]

下边证明后者当$\varepsilon\to 0$时极限为0.考虑任何一个固定的$\alpha$,注意到$\partial^{\alpha}\phi(x_0)=0$.因此根据Tayloy公式我们就有:

\[|\partial^{\alpha}\phi(y)|\le \frac{1}{k-|\alpha|}\sup_{0 < t < 1}\left| \frac{d^{k-|\alpha|}}{dt^{k-|\alpha|}}(\partial^{\alpha}\phi)(x+t(y-x))\right| (*) \]

这里注意到一个事实$\partial^{\alpha}\phi$在任何紧集是一致连续的并且在$\mathrm{supp}u$上为0.因此当$\varepsilon\to 0$时,$\sup_{M_{\varepsilon}}|\partial^{\alpha}\phi|\to 0$.故我们可以分为两种情况：

$|\alpha|=k$,则可以直接证明;
当$|\alpha| < k$,注意到由(*)式我们也可以得到证明.

定理6: 如果$u$是阶数为$k$且具有紧支集的分布,且$\mathrm{supp}u=\{y\}$.则$u$有如下形式:

\[u(\phi)=\sum_{|\alpha|\le k}a_{\alpha}\partial^{\alpha}\phi(y),\phi\in C^k \]

证明: 对$\phi$进行泰勒展开:

\[\phi(x)=\sum_{|\alpha|\le k}\partial^{\alpha}\phi(y)(x-y)^{\alpha}/\alpha!+\psi(x) \]

显然$\partial^{\alpha}\psi(y)=0,|\alpha|\le k$(泰勒公式所得),因此根据定理4我们就可以得到:

\[u(\psi)=0 \]

所以就得到了:

\[a_{\alpha}=u((\cdot-y)^{\alpha}/\alpha!) \]

其中$\cdot$代表变量.

posted @ 2023-06-27 18:23 math-zhou 阅读(160) 评论(0) 收藏举报

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分布理论读书笔记一:分布

1:分布的定义和性质

1.1: 基本空间\(\mathscr{D}(X)\).

1.2:分布

1.3:分布的例子

1.4 :分布的阶数

1.5:分布的支集

2.具有紧支集的分布

2.1:定义

2.2:紧支集为单点集的分布

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